2021年中考数学复习题
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB长是x2﹣3x﹣18＝0的根，连接BD，∠DBC＝30°，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，动点P从B点以每秒2个单位长度的速度沿BD方向匀速运动到D点为止；点M沿线段DA以每秒√3个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）线段CN＝ 3√3 ；
（2）连接PM和MN，求△PMN的面积s与运动时间t的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，当△PMN是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵AB长是x2﹣3x﹣18＝0的根， ∴AB＝6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD＝6，∠BCD＝90°， ∵∠DBC＝30°，
∴BD＝2CD＝12，BC=√3CD＝6√3， ∵∠DBC＝30°，CN⊥BD， ∴CN=2BC＝3√3， 故答案为：3√3．
（2）如图，过点M作MH⊥BD于H，
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∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝30°， ∴MH=2MD=2t， ∵∠DBC＝30°，CN⊥BD， ∴BN=√3CN＝9，
当0＜t＜时，△PMN的面积s=
9292√3√319√3×（9﹣2t）×t=?t2+t； 22241√3当t=时，点P与点N重合，s＝0， 当＜t≤6时，△PMN的面积s=
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√3√319√3×（2t﹣9）×t=t2?t； 2224（3）如图，过点P作PE⊥BC于E，
当PN＝PM＝9﹣2t时， ∵PM2＝MH2+PH2， ∴（9﹣2t）2＝（∴t＝3或t=3， ∴BP＝6或
1437
√323
t）+（12﹣2t?2t）2， 2
，
当BP＝6时，
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∵∠DBC＝30°，PE⊥BC， ∴PE=2BP＝3，BE=√3PE＝3√3， ∴点P（3√3，3）， 当BP=
14
时， 37√37
，）， 33
1
同理可求点P（
当PN＝NM＝9﹣2t时， ∵NM2＝MH2+NH2， ∴（9﹣2t）2＝（
3√32
t）+（t﹣3）2， 22
∴t＝3或24（不合题意舍去）， ∴BP＝6， ∴点P（3√3，3），
综上所述：点P坐标为（3√3，3）或（
7√33
，）．
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2021年中考数学复习题 (145)
