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圆锥曲线专题 求离心率的值
师生互动环节
讲课内容：历年高考或模拟试题关于离心率的求值问题分类精析与方法归纳点拨。 策略一：根据定义式求离心率的值
在椭圆或双曲线中，如果能求出a、c的值，可以直接代公式求离心率；如果不能得到a、ccb2cb2的值，也可以通过整体法求离心率：椭圆中e??1?2；双曲线中e??1?2.所以只
aaaa要求出
b值即可求离心率. ax2y2例1.（2010年全国卷2）己知斜率为1的直线l与双曲线C：2?2?1?a＞0，b＞0?相交于
abB、D两点，且BD的中点为M(1,3)，求曲线C的离心率.
解析：如图，设B(x1,y1)、D(x2,y2)，则
x12y12??1???① a2b222x2y2?2?1???② 2ab①-②整理得
(x1?x2)(x1?x2)(y1?y2)(y1?y2)??0???③
a2b2又因为M(1,3)为BD的中点，则x1?x2?2,y1?y2?6，且x1?x2，代入③得
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kBDb2y1?y2b2b2???1，解得2?3，所以e?1?2?1?3?2.
ax1?x23a2abb2方法点拨：此题通过点差法建立了关于斜率与的关系，解得2的值，从而整体代入求出离
aa心率e.当然此题还可以通过联立直线与曲线的方程，根据韦达定理可得x1?x2??(a,b)，
b2?(a,b)?2或者y1?y2??(a,b)，?(a,b)?6从而解出2的值，最后求得离心率.
a【同类题型强化训练】
1.（呼市二中模拟）已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为2x?3y?0，则双曲线的离心率为（ ）. A.13131510 B. C. D. 32322.（衡水中学模拟）已知中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与圆(x?2)2?(y?1)2?r2交于
1A、B两点，AB恰是该圆的直径，且直线AB的斜率k??，求椭圆的离心率.
21x23.（母题）已知双曲线C:?y2?1(m?0)，双曲线上一动点P到两条渐近线的距离乘积为，
2m求曲线C的离心率. 【强化训练答案】
1.答案：由双曲线焦点在x上，则渐近线方程bx?ay?0，又题设条件中的渐近线方程为
b2b24132x?3y?0，比较可得?，则e?1?2?1??.
a3a93x2y22.答案：设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，A(x1,y1),B(x2,y2)，则
ab22x12y12x2y2?2?1???① 2?2?1???② 2abab①-②整理得
(x1?x2)(x1?x2)(y1?y2)(y1?y2)??0???③
a2b2因为AB恰是该圆的直径，故AB的中点为圆心(2,1)，且x1?x2
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y1?y22b2则x1?x2?4,y1?y2?2，代入③式整理得k???2
x1?x2a2b211b21直线AB的斜率k??，所以k??2??，解得2?
a22a4cb213所以离心率e??1?2?1??.
aa423.答案：曲线C的渐近线方程分别为l1:x?my?0和l2:x?my?0，设P(x0,y0)，则 点P(x0,y0)到直线l1的距离d1?x0?my01?mx0?my01?m22x0?my0，
点P(x0,y0)到直线l2的距离d2?，
d1?d2?x0?my0?x0?my01?m?1?m
m1?，解得m?1 1?m222因为P(x0,y0)在曲线C上，所以x0?my0?m，故d1?d2?所以e?2.
策略二：构造a,c的关系式求离心率
根据题设条件，借助a,b,c之间的关系，沟通a、c的关系（特别是齐次式），进而得到关于e的一元方程，从而解方程得出离心率e.
x2y2例2.已知F1,F2是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形
abMF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，求双曲线的离心率.
c解析：如图1，MF1的中点为P，则点P的横坐标为?.
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圆锥曲线专题(求离心率的值、离心率的取值范围)
