高考数学（理科）专题练习 函数与方程思想 题组1 运用函数与方程思想解决数列、不等式等问题 1．(2016·济南模拟)已知?an?是等差数列，a1?1，公差d?0，Sn是其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8的值为( ) A．16 C．64 2．若2x?5y?2?y?5?x，则有( ) A．x?y?0 C．x?y?0 B．x?y?0 D．x?y?0 B．3 D．62 3．若关于x的方程x2?2kx?1?0的两根x1，x2满足?1?x1?0?x2?2，则k的取值范围是( ) ?3?A．??,0? ?4??3?C．?0,? ?4??3?B．??,0? ?4??3?D．?0,? ?4?4．(2016·菏泽模拟)已知数列?an?满足a1?60，an?1?an?2n?n?N*?，则5．(2016·郑州模拟)已知函数f?x??xlnx?a，g?x??an的最小值为________． n12x?ax，其中a?0． 2（1）若曲线y?f?x?在点?1,f?1??处的切线与曲线y?g?x?也相切，求a的值； （2）证明：x?1时，f?x??1?g?x?恒成立． 2题组2 利用函数与方程思想解决几何问题 26．(2016·山西四校联考)设抛物线C:y?3px?p?0?的焦点为F，点M在C上，MF?5，若以MF为直径的圆过点?0,2?，则C的方程为( ) A．y2?4x或y2?8x C．y2?4x或y2?16x B．y2?2x或y2?8x D．y2?2x或y2?16x 7．如图1所示，在单位正方体ABACD?A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P，使得AP?D1P最短，则AP?D1P的最小值是( ) 1 / 7
图1 A．2?2 C．2?2 B．2?22 D．2?22 1??x2y238．已知椭圆E:2?2?1?a?b?0?的离心率e?，并且经过定点P?3,?． 2?ab?2（1）求椭圆E的方程； （2）问：是否存在直线y??x?m，使直线与椭圆交于A，B两点，且满足OA?OB?的值；若不存在，请说明理由． 9．如图2，直三棱柱ABC?A'B'C'中，AC?BC?5，AA'?AB?6，D，E分别为AB和BB'上的点，且12？若存在，求出m5ADBE???． DBEB' 图2 （1）求证：当??1时，A'B?CE； （2）当?为何值时，三棱锥A'?CDE的体积最小，并求出最小体积． 2 / 7
高考数学（理科）专题练习
函数与方程思想
答 案 1．C 2．B 3．B 4．29 25．解：（1）由f?x??xlnx?a，得f?1??a， f'?x??lnx?1，所以f'?1??1． 1分 所以曲线y?f?x?在点?1,f?1??处的切线为y?x?a?1．因为直线y?x?a?1与曲线y?g?x?也相切， 所以两方程联立消元得即12x?ax?a?x?1， 212x??a?1?x?1?a?0， 3分 212所以???a?1??4???1?a??0，得a2?1． 2因为a?0，所以a?1． 4分 111?g?x?恒成立，等价于x2?ax?xlnx?a??0恒成立． 22211令h?x??x2?ax?xlnx?a?， 22（2）证明：x?1时，f?x??'则h?1??0且h?x??x?a?lnx?1． 6分 令??x??x?lnx?1，则??1??0且?'?x??1?'所以x?1时，??x??0，??x?单调递增， 1x?1?， 8分 xx所以??x????1??0． '又因为a?0，所以h?x??0，h?x?单调递增，所以h?x??h?1??0， 121x?ax?xlnx?a??0恒成立， 11分 221即x?1时，f?x???g?x?恒成立． 12分 2所以x?1时，6．C 3 / 7
7．C 31c3且2?2?1，c2?a2?b2， ?a4ba2x222解得a?4，b?1，即椭圆E的方程为?y2?1． 4分 48．解：（1）由e?（2）设A?x1,y1?，B?x2,y2?， ?x222??y?12,x?4?m?x??4?0? 由?4?y??x?m?5x2?8mx?4m2?4?0．?*? 8m4m2?4所以x1?x2?，x1x2?， 8分 55824m2?4m2?4， y1y2??m?x1??m?x2??m?m?x1?x2??x1x2?m?m??5551212由OA?OB?得?x1,y1???x2,y2??， 55124m2?4m2?412即x1x2?y1y2?，??，m??2． 555522又方程?*?要有两个不等实根， 2所以????8m?1?4?54m?4?0，解得?5?m?5，所以m??2． 12分 ??9．解：（1）证明：∵??1，∴ D，E分别为AB和BB'的中点． 1分 又AA'?AB，且三棱柱ABC?A'B'C'为直三棱柱， ∴平行四边形ABB'A'为正方形，∴DE?A'B． 2分 ∵AC?BC，D为AB的中点，∴CD?AB． 3分 ∵三棱柱ABC?A'B'C'为直三棱柱， ∴CD?平面ABB'A'，∴CD?A'B， 4分 又CDDE?D，∴A'B?平面CDE． ∵CD?平面CDE，∴A'B?CE． 6分 （2）设BE?x，则AD?x，DB?6?x，B'E?6?x．由已知可得C到平面A'DE的距离即为?ABC的?B?边AB所对应的高h?AC????4， 8分 ?2?22∴VA'?CDE?VC?A'DE?1S?S?DBE?S?A'B'D?h ''?S?AA'D3四边形ABBA1?1???36?3x??6?x??x?3??6?x???h 3?2??? 4 / 7
?2222x?6x?36????x?3??27??0?x?6?， 11分 ??33?∴当x?3，即??1时，VA'?CDE有最小值18． 12分 5 / 7
高考数学(理科)- 函数与方程思想-专题练习 (含答案与解析)
