江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试试题
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1． 本试卷共4页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。 3． 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位
置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。 注 意 事 项
参考公式：柱体的体积公式V柱体?Sh，其中S为柱体的底面积，h为高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．1． 已知集合U?? ?1，0，1，2，3 ?，A???1，0，2 ?，则eUA? ▲ ． 2． 已知复数z1?a?i，z2?3?4i，其中i为虚数单位．若
z1为纯虚数，则实数a的值为 ▲ ． z2100?上，其频率分布直方图如图所示，3． 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间?40，
则成绩不低于60分的人数为 ▲ ．
4． 如图是一个算法流程图，则输出的S的值为 ▲ ．
0.030 0.025 0.015 0.010 0.005 40 50 60 70 80 90 100 成绩/分
（第3题）
频率组距开始 S←1 i←1 i←i ? 1 S←S×5 i < 4 N 输出S 结 束 Y （第4题）
5． 在长为12 cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形，则该矩形的面积 大于32 cm的概率为 ▲ ．
6． 在△ABC中，已知AB?1，AC?2，B?45?，则BC的长为 ▲ ．
2
y27． 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C与双曲线x??1有公共的渐近线，且经过点
32P?2，3，则双曲线C的焦距为 ▲ ．
??8． 在平面直角坐标系xOy中，已知角?，?的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点 A(1，2)，B(5，1)，则tan(???)的值为 ▲ ．
9． 设等比数列?an?的前n项和为Sn．若S3，S9，S6成等差数列，且a8?3，则a5的值为 ▲ ． 10．已知a，b，c均为正数，且abc?4(a?b)，则a?b?c的最小值为 ▲ ．
?x≤3，?11．在平面直角坐标系xOy中，若动圆C上的点都在不等式组?x?3y?3≥0，表示的平面区域
??x?3y?3≥0 内，则面积最大的圆C的标准方程为 ▲ ．
?e?x?1，x?0，?212．设函数f(x)??（其中e为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数 3??x?3mx?2，x≤0 m的取值范围是 ▲ ．
uuuruuur13．在平面四边形ABCD中，已知AB?1，BC?4，CD?2，DA?3，则AC?BD的值为 ▲ ．
14．已知a为常数，函数f(x)?xa?x2?的最小值为?2，则a的所有值为 ▲ ．
31?x2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、 ．．．．．．．
证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，设向量a??cos?， sin??，b???sin?，cos??，c??1，3．
22（1）若a?b?c，求sin(???)的值；
（2）设??5π，0???π，且a//?b?c?，求?的值．
6
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱柱ABC端点），且∠ABE??A1B1C1中，AB AC，点E，F分别在棱BB1 ，CC1上（均异于
A B E F C
∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1．
求证：（1）平面AEF⊥平面BB1C1C；
（2）BC // 平面AEF．
17．（本小题满分14分）
2y2x如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆2?2?1(a?b?0)的短轴端点，P是
ab椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为y?x?3时，线段PB1的长为42． （1）求椭圆的标准方程；
（2）设点Q满足：QB1?PB1，QB2?PB2．求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．
18．（本小题满分16分）
2
y B1 Q P OB2 （第17题）
x 将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm的矩形薄铁皮（如图），并沿虚线
l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形（B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案：
方案①：以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆 柱的两个底面；
方案②：以l1为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形 （各边分别与l1或l2垂直）作为正四棱柱的两个底面．
（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；
（2）设l1的长为xdm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？
l1
19．（本小题满分16分）
设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且q?1，d?0． 记ci?ai?bi（i1，2，3，4）．
（第18题）
B l 2 C A c2，c3不是等差数列； （1）求证：数列c1，c2，c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域； （2）设a1?1，q?2．若数列c1， c2，c3，c4能否为等比数列？并说明理由． （3）数列c1，
20．（本小题满分16分）
设函数f(x)?x?asinx(a?0)．
（1）若函数y?f(x)是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；
（2）设a?1，g(x)?f(x)?blnx?1(b?R，b?0)，g?(x)是g(x)的导函数．
2 ① 若对任意的x?0，g?(x)?0，求证：存在x0，使g(x0)?0；
② 若g(x1)?g(x2)(x1?x2)，求证：x1x2?4b2．
（附加题）
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共2页，均为非选择题（第21~23 题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在 答题卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号。 注 意 事 项 3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置 21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，A，B，C是⊙O上的3个不同的点，半径OA交弦BC于点D． 求证：DB?DC?OD2?OA2．
B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
C
（第21—A题）
B A
O D 在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)．设变换T1，T2对应的矩阵 ?10??20?N?分别为M??，??01?，求对△ABC依次实施变换T1，T2后所得图形的面积． 02????
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
??2? 在极坐标系中，求以点P2，为圆心且与直线l：?sin??相切的圆的极坐标方程．
33????
D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
1?a?c≥2． 已知a，b，c为正实数，且a?b?c?1，求证：2ca?2b??
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 ．．．．．．． 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张
如图所示的3?3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元， 点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖总金额为X元． （1）求概率P(X?600)；
（2）求X的概率分布及数学期望E(X)．
23．（本小题满分10分） 已知(1?x)2n?1 （第22题）
?a0?a1x?a2x?…?a2n?1x22n?1，n?N．记Tn??(2k?1)an?k．
*k?0n （1）求T2的值；
（2）化简Tn的表达式，并证明：对任意的n?N*，Tn都能被4n?2整除．
参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1． 已知集合U?? ?1，0，1，2，3 ?，A???1，0，2 ?，则eUA? ▲ ．
【答案】?1，3?
2． 已知复数z1?a?i，z2?3?4i，其中i为虚数单位．若
【答案】4
3100?上，其频率分布直方图如图 3． 某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间?40，z1为纯虚数，则实数a的值为 ▲ ． z2 所示，则成绩不低于60分的人数为 ▲ ．
【答案】30
4． 如图是一个算法流程图，则输出的S的值为 ▲ ． 【答案】125
5． 在长为12 cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于
32 cm的概率为 ▲ ． 1
【答案】
3
6． 在△ABC中，已知AB?1，AC?2，B?45?，则BC的长为 ▲ ．
【答案】2?6 222
开始 S←1 频率组距 i←1 i←i ? 1 S←S×5 0.030 0.025 0.015 0.010 0.005 40 50 60 70 80 90 100 成绩/分
（第3题）
结 束 （第4题）
i < 4 N 输出S Y y27． 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C与双曲线x??1有公共的渐近线，且经过
3点P?2，3，则双曲线C的焦距为 ▲ ． 【答案】43
8． 在平面直角坐标系xOy中，已知角?，?的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点
??1)，则tan(???)的值为 ▲ ． A(1，2)，B(5， 【答案】9
79． 设等比数列?an?的前n项和为Sn．若S3，S9，S6成等差数列，且a8?3，则a5的值为
▲ ． 【答案】?6
10．已知a，b，c均为正数，且abc?4(a?b)，则a?b?c的最小值为 ▲ ．
【答案】8
?x≤3，?11．在平面直角坐标系xOy中，若动圆C上的点都在不等式组?x?3y?3≥0，表示的平面
??x?3y?3≥0 区域内，则面积最大的圆C的标准方程为 ▲ ． 【答案】(x?1)2?y2?4
?e?x?1，x?0，?212．设函数f(x)??（其中e为自然对数的底数）有3个不同的零点， 3??x?3mx?2，x≤0 则实数m的取值范围是 ▲ ． 【答案】?1，???
uuuruuur13．在平面四边形ABCD中，已知AB?1，BC?4，CD?2，DA?3，则AC?BD的值为 ▲ ．
【答案】10
14．已知a为常数，函数f(x)?【答案】4，1
4
二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，设向量a??cos?，sin??，b???sin?，cos??， c??1，3．
22xa?x2?的最小值为?2，则a的所有值为 ▲ ．
31?x2??（1）若a?b?c，求sin(???)的值；
（2）设??5π，0???π，且a//?b?c?，求?的值．
6解：（1）因为a??cos?，sin??，b???sin?，cos??，c??1，3，
22所以a?b?c?1，
且a?b??cos?sin??sin?cos??sin(???)． …… 3分
因为a?b?c，所以a?b2???c2，即a2
2 a?b b2
1，
所以1?2sin(???)?1?1，即sin(???)??1． …… 6分
2 （2）因为??5π，所以a??3，1．
622???因为a//?b?c?，所以?3?cos??3??1?sin??1??0．
2222 化简得，1sin??3cos??1，所以sin???π??1． …… 12分
22232? 依题意，b?c??sin??1，cos??3． …… 8分
22? 因为0???π，所以?π???π?2π． 333 所以??π?π，即??π． …… 14分
362
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱柱ABC于端点），且∠ABEA1B1C1中，AB AC，点E，F分别在棱BB1 ，CC1上（均异
A B E F C
∠ACF，AE⊥BB1，AF⊥CC1．
求证：（1）平面AEF⊥平面BB1C1C；
（2）BC // 平面AEF．
证明：（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1 // CC1．
A1 C1
因为AF⊥CC1，所以AF⊥BB1． …… 2分
B1
又AE⊥BB1，AEIAF?A，AE，AF?平面AEF， （第16题）
所以BB1⊥平面AEF． …… 5分 又因为BB1?平面BB1C1C，所以平面AEF⊥平面BB1C1C． …… 7分 （2）因为AE⊥BB1，AF⊥CC1，∠ABE ∠ACF，AB 所以Rt△AEB ≌Rt△AFC． 所以BE CF． …… 9分
AC，
又由（1）知，BE CF．
所以四边形BEFC是平行四边形． 从而BC 分
又BC?平面AEF，EF?平面AEF，
EF． …… 11
所以BC // 平面AEF． …… 14分
17．（本小题满分14分）
2y2x如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆2?2?1(a?b?0)的短轴端点，P是
ab椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为y?x?3时，线段PB1的长为42． （1）求椭圆的标准方程；
（2）设点Q满足：QB1?PB1，QB2?PB2．求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值． 解：设P?x0，y0?，Q?x1，y1?．
（1）在y?x?3中，令x?0，得y?3，从而b 3． Q P OB2 （第17题）
y B1 …… 2分
2?x2y22x?3???1，?2? 由?a 得x2??1． 99a?y?x?3?x 所以x0??6a2． …… 4分
9?a 因为PB1?x02??y0?3??2x0，
2226a 所以42?2?，解得a2?18． 29?a2y2x 所以椭圆的标准方程为??1． …… 6分 189 （2）方法一：
直线PB1的斜率为kPB1?y0?3， x0x0． y0?3 由QB1?PB1，所以直线QB1的斜率为kQB1?? 于是直线QB1的方程为：y?? 同理，QB2的方程为：y??x0x?3． y0?3x0x?3． …… 8分 y0?32y0?9 联立两直线方程，消去y，得x1?． …… 10分
x022x02y02x0y22xy0?在椭圆? 因为P?x0，??1，从而y0?9??． ?1上，所以
1891892 所以x1?? 所以
x0． …… 12分 2S?PB1B2x?0?2． …… 14分 S?QB1B2x1 方法二：
设直线PB1，PB2的斜率为k，k?，则直线PB1的方程为y?kx?3． 由QB1?PB1，直线QB1的方程为y??1x?3．
k2y2x 将y?kx?3代入??1，得?2k2?1?x2?12kx?0， 189k．…… 8分 因为P是椭圆上异于点B1，B2的点，所以x0?0，从而x0??1222k?122x02y02x0y22x 因为P?x0，y0?在椭圆???1，从而y0?9??． ?1上，所以
18918922y0?3y0?3y0?9????1，得k???1． …… 10分 所以k?k??22kx0x02x0 由QB2?PB2，所以直线QB2的方程为y?2kx?3．
?y??1x?3，?k，即x?6k． …… 12分 k 联立? 则x?6122k?12k2?1?y?2kx?3? 所以
S?PB1B2x?0S?QB1B2x1k?1222k?1?2． …… 14分 ?6k2k2?1
18．（本小题满分16分）
2
将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm的矩形薄铁皮（如图），并沿 虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形（B，C全等），用来制成一个柱体．现有两种方案： 方案①：以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为
圆柱的两个底面；
方案②：以l1为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方
形（各边分别与l1或l2垂直）作为正四棱柱的两个底面．
（1）设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面半径；
（2）设l1的长为xdm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？ 解：（1）设所得圆柱的半径为r dm，
则?2πr?2r??4r?100， …… 4分 A 解得r?l1 B l 2 C （第18题）
52?π?1?2?π?1?． …… 6分
（2）设所得正四棱柱的底面边长为a dm，
?a≤x，?a≤ 则??2即?x2， ??a?≤100x?4a，??a≤20x. 方法一：
?x3 所得正四棱柱的体积V?a2x≤??4，0?x≤210，?400 ?x，x?210.?x3 记函数?4，0?x≤210，p(x)???400 ?x，x?210. 则p(x)在?0，210??上单调递增，在??210，???上单调递减，
所以当x?210时，pmax(x)?2010．
所以当x?210，a?10时，V3
max?2010 dm． 方法二：
2a≤x≤20a，从而a≤10． 所得正四棱柱的体积V?a2x≤a2?20a??20a≤2010．
所以当a?10，x?210时，V3max?2010 dm． 答：（1）圆柱的底面半径为52?π?1?2?π?1? dm；
（2）当x为210时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大． …… 9分 ……11分…… 14分 ……11分
…… 14分
…… 16分
【评分说明】
①直接“由x?2x?x?100得，x?210时正四棱柱的体积最大”给2分；
2 ②方法一中的求解过程要体现V≤p(x)≤210，凡写成V?p(x)≤210的最多得5分， 其它类似解答参照给分．
19．（本小题满分16分）
设等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q，等差数列b1，b2，b3，b4的公差为d，且q?1，d?0． 记ci?ai?bi（i1，2，3，4）．
??c2，c3不是等差数列； （1）求证：数列c1，c2，c3是等比数列，求b2关于d的函数关系式及其定义域； （2）设a1?1，q?2．若数列c1，c2，c3，c4能否为等比数列？并说明理由． （3）数列c1，解：（1）假设数列c1，c2，c3是等差数列，
则2c2?c1?c3，即2?a2?b2???a1?b1???a3?b3?．
因为b1，b2，b3是等差数列，所以2b2?b1?b3．从而2a2?a1?a3． …… 2分 又因为a1，a2，a3是等比数列，所以a22?a1a3． 所以a1?a2?a3，这与q?1矛盾，从而假设不成立．
c2，c3不是等差数列． …… 4分 所以数列c1， （2）因为a1?1，q?2，所以an?2n?1．
因为c22?c1c3，所以?2?b2???1?b2?d??4?b2?d?，即b2?d2?3d，…… 6分 由c2?2?b2?0，得d2?3d?2?0，所以d??1且d??2．
又d?0，所以b2?d2?3d，定义域为?d?Rd??1，d??2，d?0?．…… 8分 （3）方法一：
设c1，c2，c3，c4成等比数列，其公比为q1，
2?a1?b1?c1， ??a1q?b1?d=c1q1， 则?22?a1q?b1?2d=c1q1，?aq3?b?3d=cq3.?1111①②③④22 …… 10分
将①+③－2×②得，a1?q?1??c1?q1?1?，22⑤
将②+④－2×③得，a1q?q?1??c1q1?q1?1?，⑥ …… 12分 因为a1?0，q?1，由⑤得c1?0，q1?1．
由⑤⑥得q?q1，从而a1?c1． …… 14分 代入①得b1?0．
再代入②，得d?0，与d?0矛盾．
所以c1，c2，c3，c4不成等比数列． …… 16分
方法二：
假设数列c1，c2，c3，c4是等比数列，则
所以
c2c3c4??． …… 10分 c1c2c3a?a2?da4?a3?dc3?c2c4?c3，即3． ??a2?a1?da3?a2?dc2?c1c3?c2a3?2a2?a1a4?2a3?a2． …… 12分 ?a2?a1?da3?a2?da3?2a2?a1q?a3?2a2?a1?． ?a2?a1?da3?a2?d 两边同时减1得，
因为等比数列a1，a2，a3，a4的公比为q?q?1?，所以
2 又a3?2a2?a1?a1?q?1??0，所以q?a2?a1?d??a3?a2?d，即?q?1?d?0． …… 14分 这与q?1，且d?0矛盾，所以假设不成立．
c2，c3，c4不能为等比数列． …… 16分 所以数列c1， 20．（本小题满分16分）
设函数f(x)?x?asinx(a?0)．
（1）若函数y?f(x)是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；
（2）设a?1，g(x)?f(x)?blnx?1(b?R，b?0)，g?(x)是g(x)的导函数．
2 ① 若对任意的x?0，g?(x)?0，求证：存在x0，使g(x0)?0；
② 若g(x1)?g(x2)(x1?x2)，求证：x1x2?4b2． 解：（1）由题意，f??x??1?acosx≥0对x?R恒成立，
因为a?0，所以1≥cosx对x?R恒成立，
a因为?cosx?max?1，所以1≥1，从而0?a≤1． …… 3分
a（2）①g?x??x?1sinx?blnx?1，所以g??x??1?1cosx?b．
2x2 若b?0，则存在?b?0，使g??b??1?1cos?b?0，不合题意，
2222 所以b?0． …… 5分 取x0?e，则0?x0?1．
? 此时g?x0??x0?1sinx0?blnx0?1?1?1?blneb?1??1?0．
2223?????3b 所以存在x0?0，使g?x0??0． …… 8分 ②依题意，不妨设0?x1?x2，令
x2?t，则t?1． x1 由（1）知函数y?x?sinx单调递增，所以x2?sinx2?x1?sinx1．
从而x2?x1?sinx2?sinx1． …… 10分
因为g?x1??g?x2?，所以x1?1sinx1?blnx1?1?x2?1sinx2?blnx2?1，
22 所以?b?lnx2?lnx1??x2?x1?1?sinx2?sinx1??1?x2?x1?． 22 所以?2b? 下面证明
x2?x1?0． ……12分
lnx2?lnx1x2?x1?x1x2，即证明t?1?t，只要证明lnt?t?1?0???．
lntlnx2?lnx1t? 设h?t??lnt?t?1?t?1?，所以h??t??t?t?12tt?2?0在?1，???恒成立．
所以h?t?在?1，???单调递减，故h?t??h?1??0，从而???得证．
所以?2b?x1x2， 即x1x2?4b2． ……16分
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，A，B，C是⊙O上的3个不同的点，半径OA交弦BC于点D． 求证：DB?DC?OD2?OA2． 证明：延长AO交⊙O于点E，
则DB?DC?DE?DA??OD?OE???OA?OD?．…… 5分
C
因为OE?OA，
所以DB?DC??OA?OD???OA?OD??OA2?OD2． 所以DB?DC?OD2?OA2． …… 10分
B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)．设变换T1，T2对应的矩 ?10??20?N?阵分别为M??，??01?，求对△ABC依次实施变换T1，T2后所得图形的面积． 02?????20??10??20?解：依题意，依次实施变换T1，T2所对应的矩阵NM????02???02?． 01??????（第21—A题）
B A
E O D …… 5分 ?20??0??0??20??3??6??20??2??4? 则???0???0?，?02??0???0?，?02??2???4?． 02?????????????????? 所以A(0，0)，B(3，0)，C(2，2)分别变为点A?(0，0)，B?(6，0)，C?(4，4)． 从而所得图形的面积为1?6?4?12． …… 10分
2
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
??2?在极坐标系中，求以点P2，为圆心且与直线l：?sin??相切的圆的极坐标
33????方程．
解：以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系xOy．
则点P的直角坐标为1，3． …… 2分 ??2 将直线l：?sin??的方程变形为：?sin?cos???cos?sin??2，
333???? 化为普通方程得，3x?y?4?0． …… 5分 所以P1，3到直线l：3x?y?4?0的距离为：??4?3?2?2．
2???1? 故所求圆的普通方程为?x?1??y?32??2?4． …… 8分
化为极坐标方程得，??4sin??π． …… 10分
6
D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
1?a?c≥2． 已知a，b，c为正实数，且a?b?c?1，求证：2ca?2b????证明：因为a，b，c为正实数， 所以1?a?c?a?2b?3cca?2bca?2b????
??a?c??2?b?c?ac?2bc ≥2ac?4bcac?2bc
）． …… 10分 ?2（当且仅当a?b?c取“=”
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应 ．．．．．．． 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
在某公司举行的年终庆典活动中，主持人利用随机抽奖软件进行抽奖：由电脑随机生成一张如图所示的3?3表格，其中1格设奖300元，4格各设奖200元，其余4格各设奖100元，点击某一格即显示相应金额．某人在一张表中随机不重复地点击3格，记中奖的总金额为X元． （1）求概率P?X?600?；
（2）求X的概率分布及数学期望E?X ?．
解：（1）从3?3表格中随机不重复地点击3格，共有C39种不同情形． 则事件：“X?600”包含两类情形： 第一类是3格各得奖200元；
第二类是1格得奖300元，一格得奖200元，一格得奖100元，
111 其中第一类包含C34种情形，第二类包含C1?C4?C4种情形．
（第22题）
111C34?C1?C4?C4?5． …… 3分 所以P?X?600??321C9 （2）X的所有可能值为300，400，500，600，700．
2C3C14141?C4?，P?X?400???24?2， 则P?X?300??3?3847C98421C92122C1C13056?3． 1?C4?C4?C41?C4??PX?700?? P?X?500??，??84148442C3C399 所以X的概率分布列为：
X P 300 400 500 600 700 1 212 75 145 3 2142…… 8分
所以E?X1?400?2?500?5?600?5?700?3?500（元）． ??300?217142142…… 10分
23．（本小题满分10分） 已知(1?x)2n?1?a0?a1x?a2x?…?a2n?1x22n?1，n?N．记Tn??(2k?1)an?k．
*nk?0 （1）求T2的值；
（2）化简Tn的表达式，并证明：对任意的n?N*，Tn都能被4n?2整除． 解：由二项式定理，得ai?Ci2n?1（i0，1，2，…，2n+1）．
（1）T22?a2?3a1?5a0?C5?3C105?5C5?30； （2）因为?n?1?k?Cn?1?k?1?!2n?1??n?1?k???2n?n?1?k?!?n?k?!
??2n?1???2n?!?n?k?!?n?k?!
??2n?1?Cn?k2n， n 所以Tn???2k?1?an?k
k?0n ???2k?1?Cn?k2n?1
k?0n ???2k?1?Cn?1?k2n?1
k?0?n ???2?n?1?k???2n?1???Cn?1?k2n?1
k?0n?2??n?1?k?Cn?1?kn2n??2n?1?k?0?Cn?1?k?12n?1
k?0nn?kn ?2?2n?1??C2n??2n?1??Cn?1?k2n?1
k?0k?0 ?2?2n?1??112??22n?Cn2n???2n?1??2?22n?1 ??2n?1?Cn2n． T??2n?1?Cn?1??Cn?1nnn2n??2n2n?1?C2n?1??2?2n?1?C2n?1．
…… 2分
…… 4分
…… 8分
? 因为Cn2n?1?N，所以Tn能被4n?2整除． …… 10分
江苏省南通市2020届高三数学第二次调研测试试题
