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《高等数学二》复习教程
第一讲 函数、连续与极限
一、理论要求 1.函数概念与性质 2.极限
3.连续
二、题型与解法 A.极限的求法
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函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理
会用等价无穷小和罗必达法则求极限 函数连续（左、右连续）与间断
理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） （1）用定义求
（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法 （4）两个重要极限法
（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法
（7）洛必达法则与Taylor级数法
（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
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1.limarctanx?xx??0ln(1?2x3)?limarctanx?x1（x??02x3??6等价小量与洛必达） 2.已知limsin6x?xf(x)6x??0x3?0，求lim?f(x) x??0x2limsin6x?xf(x)6cos6x?f(x)?xy解：x??0x3?lim'x??03x2 ?lim?36sin6x?2y'?xy''?216cos6x?3y''?xy'''x??06x?limx??06??216?3y''(0)
6?0?y''(0)?72lim6?f(x)x??0x2?limy'x??02x?limy''x??02?722?36 （洛必达） 3.lim2x2xx??1(x?1)x?1 （重要极限） 34.已知a、b为正常数，求limax?bxxx??0(2) ax?bx3解：令t?()x,lnt?3[ln(ax?bx2x)?ln2] limlnt?lim33x??0x??0ax?bx(axlna?bxlnb)?2ln(ab)（变量替换）?t?(ab)3/215.lim(cosln(1?x2)x??0x)
1解：令t?(cosx)ln(1?x2),lnt?1ln(1?x2)ln(cosx) limlnt?lim?tanxx??0??1?t?e?1/2（变量替换）
x??02x2x26.设f'(x)连续，f(0)?0,f'(0)?0，求lim?0f(t)dtx??0
x2x?1?0f(t)dt（洛必达与微积分性质）
7.已知f(x)???ln(cosx)x?2,x?0,x?0在x=0连续，求a
?a解：令a?limln(cosx)/x2x??0??1/2 （连续性的概念）
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三、补充习题（作业） 1.limex?1?x1?x?cosxx??0??3 （洛必达）
2.limctgx(x??011?) （洛必达或Taylor） sinxx23.lim
x?e?tdt0xx??01?e?x2?1 （洛必达与微积分性质）
第二讲 导数、微分及其应用
一、理论要求 1.导数与微分
导数与微分的概念、几何意义、物理意义
会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程
理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 会用定理证明相关问题
会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）
2.微分中值定理 3.应用
二、题型与解法
A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导
1.y?y(x)由??x?arctant决定，求dy
2t?2y?ty?e?5dx232.y?y(x)由ln(x?y)?xy?sinx决定，求
dy|x?0?1 dx解：两边微分得x=0时y'?ycosx?y，将x=0代入等式得y=1 3.y?y(x)由2B.曲线切法线问题
xy?x?y决定，则dy|x?0?(ln2?1)dx
??/2?（e4.求对数螺线??e在（?，?）,?/2)处切线的直角坐标方程。
???x?ecos??/2,(x,y)|?(0,e),y'|???/2??1 解：????/2???y?esin?y?e?/2??x
5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。 解：需求f(6),f'(6)或f(1),f'(1)，等式取x->0的极限有：f(1)=0
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成人高考专升本高等数学二复习教程
