第4节 数列求和
最新考纲 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.
知 识 梳 理
1.特殊数列的求和公式 (1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝
n（a1＋an）
2
＝na1＋n（n－1）2d.
(2)等比数列的前n项和公式：
?na，q＝1，
S＝?a－aqa（1－q）
?1－q＝1－q，q≠1Ｗ.
1
nn1n12.数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. (3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解. (4)倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，
那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解. [微点提醒]
1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝
n（n＋1）
2
.
2.12＋22＋…＋n2＝
n（n＋1）（2n＋1）
6
. 3.裂项求和常用的三种变形 (1)
111
＝－.
n（n＋1）nn＋1
1?11?1－?. ＝?
（2n－1）（2n＋1）2?2n－12n＋1?
1
＝n＋1－n.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)若数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝
1111＝(－).( ) n2－12n－1n＋1
(2)
(3)
n＋n＋1
a1－an＋1
.( ) 1－q(2)当n≥2时，
(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.( )
(4)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项3n－1
公式是an＝.( )
2
解析 (3)要分a＝0或a＝1或a≠0且a≠1讨论求解. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
12 019
2.(必修5P47B4改编)数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数nn（n＋1）2 020为( ) A.2 018 解析 an＝
B.2 019
C.2 020
D.2 021
111
＝－，
n（n＋1）nn＋1
111111n2 019
Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝＝，所以n＝2019.
223nn＋1n＋1n＋12 020答案 B
3.(必修5P56例1改编)等比数列{an}中，若a1＝27，a9＝
1
，q>0，Sn是其前n项和，则243
S6＝________. 解析 由a1＝27，a9＝
11知，＝27·q8， 243243
1
又由q>0，解得q＝，
3??1?6?27?1－???
?3??364?
所以S6＝＝.
191－3答案
364 9
4.(2018·东北三省四校二模)已知数列{an}满足an＋1－an＝2，a1＝－5，则|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝( ) A.9
B.15
C.18
D.30
解析 由题意知{an}是以2为公差的等差数列，又a1＝－5，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18. 答案 C
5.(2019·昆明诊断)已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，bn－an＝2n＋1，且Sn＋Tn＝2n＋1＋n2－2，则2Tn＝________________.
解析 由题意知Tn－Sn＝b1－a1＋b2－a2＋…＋bn－an＝n＋2n＋1－2， 又Sn＋Tn＝2n＋1＋n2－2，
所以2Tn＝Tn－Sn＋Sn＋Tn＝2n＋2＋n(n＋1)－4. 答案 2n＋2＋n(n＋1)－4
?1??n－1?
?6.(2019·河北“五个一”名校质检)若f(x)＋f(1－x)＝4，an＝f(0)＋f??＋…＋f?
?n??n?＋f(1)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________.
?1??n－1?
?＝4，解析 由f(x)＋f(1－x)＝4，可得f(0)＋f(1)＝4，…，f??＋f?所以2an＝[f(0)
?n??n???1??n－1??
??＋…＋[f(1)＋f(0)]＝4(n＋1)，即an＝2(n＋1). ＋f(1)]＋?f??＋f?
??n??n??答案 an＝2(n＋1)
考点一 分组转化法求和
【例1】 (2019·郴州质检)已知在等比数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a3－1成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝2n－1＋an(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，试比较Sn与n2＋2n的大小.
解 (1)设等比数列{an}的公比为q，
∵a1，a2，a3－1成等差数列，
a3
∴2a2＝a1＋(a3－1)＝a3，∴q＝＝2，
a2∴an＝a1qn－1＝2n－1(n∈N*).
(2)由(1)知bn＝2n－1＋an＝2n－1＋2n－1，
∴Sn＝(1＋1)＋(3＋2)＋(5＋22)＋…＋(2n－1＋2n－1) ＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(1＋2＋22＋…＋2n－1) 1＋（2n－1）1－2＝·n＋＝n2＋2n－1.
21－2∵Sn－(n2＋2n)＝－1<0，∴Sn 规律方法 1.若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. ?an，n为奇数， 2.若数列{cn}的通项公式为cn＝?其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数 b，n为偶数，?n列，可采用分组求和法求{an}的前n项和. 【训练1】 (2019·南昌一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＋S4＝S5. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝(－1)n－1an，求数列{bn}的前2n项和T2n. 解 (1)设等差数列{an}的公差为d， 由S3＋S4＝S5可得a1＋a2＋a3＝a5，即3a2＝a5， ∴3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2. ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)由(1)可得bn＝(－1)n－1·(2n－1). ∴T2n＝1－3＋5－7＋…＋(2n－3)－(2n－1)＝(－2)×n＝－2n. n
2020届高三理科数学一轮复习 第六章 第4节 数列求和
