∴Rt△DFB≌Rt△DAC（ASA）．∴BF=AC； （2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE． 在Rt△BEA和Rt△BEC中∠ABE＝∠CBE,BE＝BE,∠BEA＝∠BEC， ∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）．∴CE=AE=12 AC． 又由（1），知BF=AC，∴CE=112 AC=2 BF； （3）证明：∠ABC=45°，CD垂直AB于D，则CD=BD． H为BC中点，则DH⊥BC（等腰三角形“三线合一”） 连接CG，则BG=CG，∠GCB=∠GBC=1 ∠ABC=122 ×45°=22.5°，∠EGC=45°． 又∵BE垂直AC，故∠EGC=∠ECG=45°，CE=GE．∵△GEC是直角三角形，∴CE2+GE2=CG2， ∵DH垂直平分BC，∴BG=CG，∴CE2+GE2=CG2=BG2；即2CE2=BG2，BG=2 CE，∴BG＞CE． 点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点． 【7】. 如图，将△ADE绕正方形ABCD（四条边都相等，四个角都是直角）的顶点A顺时针旋转90°得△ABF，连接EF交AB于点H；则下列结论：①AE⊥AF；②△ABF≌△AED；③点A在线段EF的中垂线上；④△ADE与△ABF的周长和面积分别相等；其中 . 正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 考点：旋转的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；正方形的性质． 分析：根据旋转的性质可以得到：△ABF≌△AED，然后根据全等三角形的性质，以及中垂线的判定定理即可作出判断． 解答：解：根据旋转的性质可以得到：△ABF≌△AED，故②④正确； ∵△ABF≌△AED ∴∠DAE=∠FAF又∵BAD=90°∴∠FAE=90°∴AE⊥AF，故①正确； ∵△ABF≌△AED∴AE=AF∴点A在线段EF的中垂线上，故③正确．故选A． 点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，正确根据旋转的性质得到：△ABF≌△AED是解题的关键． 【8】．（2013?黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D.4 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角梯形． 专题：压轴题． 分析：如解答图所示： 结论①正确：证明△ACM≌△ABF即可； 结论②正确：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF； 结论③正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等； 结论④正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等． 解答：解：（1）结论①正确．理由如下： ∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，∴∠5=∠6，∴AM=AE=BF．易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．在△ACM与△ABF中，AC＝AB ∠CAM＝∠B＝45°AM＝BF ，∴△ACM≌△ABF（SAS），∴CM=AF； （2）结论②正确．理由如下：∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4，∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°，∴CE⊥AF； （3）结论③正确．理由如下：证法一：∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四点共圆，∠7=∠2，∵∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG．在△ADG与△NCG中，AD＝CN ∠DAG＝∠CNG AG＝NG ，∴△ADG≌△NCG（SAS），∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH； （4）结论④正确．理由如下： . 证法一：∵A、D、C、G四点共圆，∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°， ∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC． 证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2 则∠CGN=180°-∠1-90°-∠MNG=180°-∠1-90°-∠3=90°-∠1-∠2=45°． ∵△ADG≌△NCG，∴∠DGA=∠CGN=45°= 12 ∠AGC，∴GD平分∠AGC． 综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．故选D． 点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度．解答中四点共圆的证法，仅供同学们参考． 【9】. 如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2AD，点E、F分别是AB、BC边的中点，连接AF、CE交于点M，连接BM并延长交CD于点N，连接DE交AF于点P，则结论：①∠ABN=∠CBN； ②DE∥BN； ③△CDE是等腰三角形； ④； ⑤，正确的个数有【 】 A.5个 B. 4个 C.3个 D. 2个 【答案】B。 【解析】如图，连接DF，AC，EF， ∵E、F分别为AB、BC的中点，且AB=BC， ∴AE=EB=BF=FC。 在△ABF和△CBE中，∵AB=CB，∠ABF=∠CBE， BF=BE， ∴△ABF≌△CBE（SAS）。∴∠BAF=∠BCE，AF=CE。
在△AME和△CMF中，∵∠BAF=∠BCE，∠AME=∠CMF ，
AE=CF，∴△AME≌△CMF（AAS）。∴EM=FM。
在△BEM和△BFM中，∵BE=BF，BM=BM， EM=FM，∴△
BEM≌△BFM（SSS）。∴∠ABN=∠CBN。结论①正确。
∵AE=AD，∠EAD=90°，∴△AED为等腰直角三角形。∴∠AED=45°。∵∠ABC=90°，∴∠ABN=∠
CBN=45°。∴∠AED=∠ABN=45°。∴ED∥BN。结论②正确。
∵AB=BC=2AD，且BC=2FC，∴AD=FC。
又∵AD∥FC，∴四边形AFCD为平行四边形。∴AF=DC。
又AF=CE，∴DC=EC。则△CED为等腰三角形。结论③正确。
∵EF为△ABC的中位线，∴EF∥AC，且EF=1
2
AC。
∴∠MEF=∠MCA，∠EFM=∠MAC。∴△EFM∽△CAM。∴EM：MC=EF：AC=1：2。 设EM=x，则有MC=2x，EC=EM+MC=3x，设EB=y，则有BC=2y， 在Rt△EBC中，根据勾股定理得：，
∴3x=
y，即x：y=
：3。∴EM：BE=
：3。结论④正确。
∵E为AB的中点，EP∥BM，∴P为AM的中点。∴
。
又∵
，∴
。
.
∵四边形ABFD为矩形，∴。又∵，
∴
S。∴。结论⑤错误。
因此正确的个数有4个。故选B。
【10】. （2012?牡丹江）如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC
上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交
AG于点O．则下列结论：①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，
③AH+CH=DH，④AD2=OD?DH中，正确的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．
专题：压轴题．
分析：由菱形ABCD中，AB=AC，易证得△ABC是等边三角形，则可得∠B=∠EAC=60°，
由SAS即可证得△ABF≌△CAE；则可得∠BAF=∠ACE，利用三角形外角的性质，即可求得∠AHC=120°；在HD上截取HK=AH，连接AK，易得点A，H，C，D四点共圆，则可证得△AHK是等边三角形，然后由AAS即可证得△AKD≌△AHC，则可证得AH+CH=DH；易证得△OAD∽△AHD，由相似三角形的对应边成比例，即可得AD2=OD?DH．
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵AB=AC，∴AB=BC=AC，即△ABC是
等边三角形，同理：△ADC是等边三角形∴∠B=∠EAC=60°，在△ABF和△CAE中，BF＝AE, ∠B＝∠EAC, BC＝AC，∴△ABF≌△CAE（SAS）；故①正确；
∴∠BAF=∠ACE，∵∠AEH=∠B+∠BCE，∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120°；故②正确；
在HD上截取HK=AH，连接AK，∵∠AHC+∠ADC=120°+60°=180°，∴点A，H，C，D四点共圆，∴∠AHD=∠ACD=60°，∠ACH=∠ADH，∴△AHK是等边三角形，∴AK=AH，∠AKH=60°，∴∠AKD=∠AHC=120°，在△AKD和△AHC中，∠AKD＝∠AHC,∠ADH＝∠ACH, AD＝AC，
∴△AKD≌△AHC（AAS），∴CH=DK，∴DH=HK+DK=AH+CH；故③正确； ∵∠OAD=∠AHD=60°，∠ODA=∠ADH，∴△OAD∽△AHD，∴AD：DH=OD：AD，∴AD2=OD?DH． 故④正确．故选D．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
【11】. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD⊥CD，BD=CD，CE平分∠BCD，交AB于点E，交BD于点H，EN∥DC交BD于点N，连接DE．下列结论： ①BH=BE； ②EH=DH； ③tan∠EDB=
；④
； 其中正确的有
1. A.①③④ B.②③④ C.①④ D.①②③ 答案C
解析分析：首先由BD⊥CD，BD=CD，可求得∠DBC=∠
.
DCB=45°，又由CE平分∠BCD，∠ABC=90°，根据三角形外角的性质与直角三角形的性质，即可求得∠BEH=∠BHE=67.5°，然后由等角对等边，即可求得①正确；由∠ADB=45°，∠EDB＜∠ADB，即可得tan∠EDB＜
，可得③错误，利用排除法即可求得答案．
解答：∵BD⊥CD，BD=CD，∴∠DBC=∠DCB=45°，∵∠ABC=90°，∴∠ABD=45°，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE=∠BCE=22.5°，∴∠BHE=∠DBC+∠BCE=67.5°，∠BEC=90°-∠BCE=67.5°，∴∠BHE=∠BEC，∴BH=BE；故①正确；∵∠HED与∠HDE的大小无法确定，故EH不一定等于EH，故②错误；∵∠ADB=90°-∠ABD=45°，∴∠EDB＜45°，∴tan∠EDB＜
；故③错误；∵EN∥CD，∴∠CEN=∠
DCE=22.5°，∵∠BHE=67.5°，∵∠ABD=90°-∠CBD=45°．∴∠BEH=∠BHE=67.5°，∴BE=BH， ∴∠ENH=180°-∠CEN-∠EHN=90°，∴∠ENH=∠ABC，∠NEH=∠BCE=22.5°，∴△ENH∽△CBE， ∴，∴
，∵
，∴
．故④正确．
故选C．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及特殊角三角函数等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
12. （2013?义乌市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③-1≤a≤-2
3 ；④3≤n≤4中，正确的是（ ）A．①② B．③④ C．①④ D．①③
考点：二次函数图象与系数的关系．
专题：计算题；压轴题．
分析：①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（-1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；
②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=-2a，将其代入（3a+b），
并判定其符号；
③根据两根之积 c
c
a =-3，得到a=-3 ，然后根据c的取值范围利用不等
式的性质来求a的取值范围；
④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=4
3 c，利用c的取值范围可
以求得n的取值范围．
解答：解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），对称轴直线是x=1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）， ∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．故①正确；
②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴x=- b
2a =1，
∴b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a＜0，即3a+b＜0．故②错误；
③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（-1，0），（3，0），∴-1×3=-3，
∴c
=-3，则a=-c
a3 ．∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3， ∴-1≤-c3 ≤-23 ，即-1≤a≤-23 ．故③正确；④根据题意知，a=-cb2c3 ，-2a =1，∴b=-2a=3 ，
.
∴n=a+b+c=43 c．∵2≤c≤3，∴83 ≤43 c≤4，即 8
3 ≤n≤4．故④错误．
综上所述，正确的说法有①③．故选D．
点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方
向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
【13】. (2013烟台)11．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过
点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），
是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（ ）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
几何多结论选择题
