几何多结论选择题

几何多结论选择题方法突破 【1】.（2013?齐）在锐角三角形ABC中，AH是BC边上的高，分别以AB、AC为一边，向外作正方形ABDE和ACFG，连接CE、BG和EG，EG与HA的延长线交于点M，下列结论：①BG=CE； ②BG⊥CE； ③AM是△AEG的中线； ④∠EAM=∠ABC，其中正确结论的个数是（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 专题：压轴题． 分析：根据正方形的性质可得AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，然后求出∠CAE=∠BAG，再利用“边角边”证明△ABG和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=CE，判定①正确；设BG、CE相交于点N，根据全等三角形对应角相等可得∠ACE=∠AGB，然后求出∠CNG=90°，根据垂直的定义可得BG⊥CE，判定②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，根据同角的余角相等求出∠ABH=∠EAP，再利用“角角边”证明△ABH和△EAP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EAM=∠ABC判定④正确，全等三角形对应边相等可得EP=AH，同理可证GQ=AH，从而得到EP=GQ，再利用“角角边”证明△EPM和△GQM全等，根据全等三角形对应边相等可得EM=GM，从而得到AM是△AEG的中线． . 解答：解：在正方形ABDE和ACFG中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°， ∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAE=∠BAG，∵在△ABG和△AEC中，AB＝AE，∠CAE＝∠BAG， AC＝AG，∴△ABG≌△AEC（SAS），∴BG=CE，故①正确； 设BG、CE相交于点N，∵△ABG≌△AEC，∴∠ACE=∠AGB，∵∠NCF+∠NGF=∠ACF+∠AGF=90°+90°=180°，∴∠CNG=360°-（∠NCF+∠NGF+∠F）=360°-（180°+90°）=90°，∴BG⊥CE，故②正确；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，∵AH⊥BC，∴∠ABH+∠BAH=90°，∵∠BAE=90°，∴∠EAP+∠BAH=180°-90°=90°，∴∠ABH=∠EAP，∵在△ABH和△EAP中，∠ABH＝∠EAP，∠AHB＝∠P＝90°，AB＝AE，∴△ABH≌△EAP（AAS），∴∠EAM=∠ABC，故④正确，EP=AH，同理可得GQ=AH，∴EP=GQ，∵在△EPM和△GQM中，∠P＝∠MQG＝90°，∠EMP＝∠GMQ，EP＝GQ，∴△EPM≌△GQM（AAS），∴EM=GM，∴AM是△AEG的中线，故③正确．综上所述，①②③④结论都正确．故选：A． 点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键． 【2】.（2012?黑河）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论： ①（BE+CF）=2 /2BC；②S1△AEF≤4 S△ABC；③S四边形AEDF=AD?EF；④AD≥EF；⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个 考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质． 专题：几何综合题． 分析：先由ASA证明△AED≌△CFD，得出AE=CF，再由勾股定理即可得出BE+CF=AB=2 /2BC，从而判断①；设AB=AC=a，AE=CF=x，先由三角形的面积公式得出S11△AEF=-2 （x-2 a）2+118 a2， S114△ABC=4 ×2 a2=18 a2，再根据二次函数的性质即可判断②；由勾股定理得到EF的表达式，利用二次函数性质求得EF最小值为=2 /2a，而AD=2 /2a，所以EF≥AD，从而④错误；先得出S1四边形AEDF=S△ADC=2 AD，再由EF≥AD得到AD?EF≥AD2，∴AD?EF＞S四边形AEDF，所以③错误；如果四边形AEDF为平行四边形，则AD与EF互相平分，此时DF∥AB，DE∥AC，又D为BC中点，所以当E、F分别为AB、AC的中点时，AD与EF互相平分，从而判断⑤． 解答：解：∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，∵∠MDN=90°，∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF． 在△AED与△CFD中，∵∠EAD＝∠C，AD＝CD，∠ADE＝∠CDF，∴△AED≌△CFD（ASA），∴AE=CF，在Rt△ABD中，BE+CF=BE+AE=AB=√AD2+BD2=2 BD=2 /2BC．故① . 正确；设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=a-x．∵S1111△AEF=2 AE?AF=2 x（a-x）=-2 （x-2 a）2+18 a2，∴当x=1 a时，S△AEF有最大值128 a2，又∵1114 S△ABC=4 ×2 a2=18 a2， ∴S1）2=2（x-1△AEF≤4 S△ABC．故②正确；EF2=AE2+AF2=x2+（a-x2 a）2+12 a2，∴当x=12 a时，EF2取得最小值12 a2，∴EF≥2 /2a（等号当且仅当x=12 a时成立），而AD=2 /2a，∴EF≥AD．故④错误； 由①的证明知△AED≌△CFD，∴S四边形AEDF=S1△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=2 AD2，∵EF≥AD，∴AD?EF≥AD2，∴AD?EF＞S四边形AEDF故③错误；当E、F分别为AB、AC的中点时，四边形AEDF为正方形，此时AD与EF互相平分．故⑤正确．综上所述，正确的有：①②⑤，共3个．故选C． 点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形的面积，函数的性质等知识，综合性较强，有一定难度． 【3】．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交 CE于点G，连接BE．下列结论中： ①CE=BD； ②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB； ④CD=EF．一定正确的结论有（ ）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 考点：等腰直角三角形；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 专题：证明题．

分析：①利用SAS证明△BAD≌△CAE，可得到CE=BD， ②利用平行四边形的性质可得AE=CD，再结合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形；

③利用SAS证明△BAE≌△BAD可得到∠ADB=∠AEB；

④由②△ADC是等腰直角三角形和四边形ACDE是平行四边形，可得EF=CF，AF=DF，所以得△CFD为等腰直角三角形且∠CFD=90°，即得CD≠CF，即CD≠EF．

解答：解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即：∠BAD=∠CAE，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴CE=BD，∴故①正确；②∵四边形ACDE是平行四边形，∴∠EAD=∠ADC=90°，AE=CD，∵△ADE都是等腰直角三角形，∴AE=AD，∴AD=CD，∴△ADC是等腰直角三角形， ∴②正确；③∵△ADC是等腰直角三角形，∴∠CAD=45°，∴∠BAD=90°+45°=135°， ∵∠EAD=∠BAC=90°，∠CAD=45°，∴∠BAE=360°-90°-90°-45°=135°，又AB=AB，AD=AE，∴△BAE≌△BAD（SAS），∴∠ADB=∠AEB；故③正确；

④已知四边形ACDE是平行四边形，∴EF=CF，AF=DF，又证得②△ADC是等腰直角三角形，∴△CFD为等腰直角三角形且∠CFD=90°，∴CD≠CF，即CD≠EF，故④CD=EF错误；

所以一定正确的结论有①②③，故选A．

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点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质及等腰三角形的判定与性质，注意细心分析，熟练应用全等三角形的判定以及平行四边形的性质及等腰三角形的判定与性质，是解决问题的关键．

【3】.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE，下列结论中： ①CE=BD； ②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB； ④CD?AE=EF?CG． 【分析】

①利用SAS证明△BAD≌△CAE，可得到CE=BD，

②利用平行四边形的性质可得AE=CD，再结合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形；

③利用SAS证明△BAE≌△BAD可得到∠ADB=∠AEB；

④利用得出∠GFD=∠AFE，以及∠GDF+GFD=90°，进而得出△CGD∽△EAF，得出比例式． 【解答】

①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即：∠BAD=∠CAE，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴CE=BD，∴故①正确；

②∵四边形ACDE是平行四边形，∴∠EAD=∠ADC=90°，AE=CD，

∵△ADE都是等腰直角三角形，∴AE=AD，∴AD=CD，∴△ADC是等腰直角三角形，∴

②正确；③∵△ADC是等腰直角三角形，∴∠CAD=45°，∴∠BAD=90°+45°=135°，∵∠EAD=∠BAC=90°，∠CAD=45°，∴∠BAE=360°-90°-90°-45°=135°，又AB=AB，AD=AE，∴△BAE≌△BAD（SAS），∴∠ADB=∠AEB；故③正确；④∵△BAD≌△CAE，△BAE≌△BAD，∴△CAE≌△BAE，∴∠BEA=∠AEC=∠BDA，∵∠AEF+∠AFE=90°，∴∠AFE+∠BEA=90°，∵∠GFD=∠AFE，∴∠GDF+GFD=90°，∴∠CGD=90°，∵∠FAE=90°，∠GCD=∠AEF，∴△CGD∽△EAF，∴CD/EF=CG/AE，∴CD?AE=EF?CG．故④正确，故正确的有4个．

【4】. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．

（1）求EG的长；（2）求证：CF=AB+AF．

解答：1）解：∵BD⊥CD，∠DCB=45°，∴∠DBC=45°=∠DCB，∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC= DB2+CD2 =2 2 ，∵CE⊥BE，点G为BC的中点，∴EG=1 2 BC= 2 ．答：EG的长是 2 ．

2）证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，∵∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF，∵DB=CD，BA=CH，∴△ABD≌△HCD，∴AD=DH，∠ADB=∠HDC，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=45°，∴∠HDC=45°，∴∠HDB=∠BDC-∠HDC=45°，∴∠ADB=∠HDB，∵AD=HD，DF=DF，∴△ADF≌△HDF，∴AF=HF，∴CF=CH+HF=AB+AF，∴CF=AB+AF．

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（解法二）

证明：延长BA与CD延长线交于M，∵△BFE和△CFD中，∠BEF=∠CDF=90°，∠BFE=∠CFD，∴∠MBD=∠FCD，∵△BCD中∠DCB=45°，BD⊥CD，∴BD=CD，△BMD和△CFD中，∵BD=CD，∠BDM=∠CDF=90°，∠MBD=∠FCD，∴△BMD≌△CFD，∴CF=BM=AB+AM，DM=DF，

∵AD∥BC，∠ADF=∠DBC=45°∠BDM=90°，∴∠ADM=∠ADF=45°，∴△AFD≌△AMD，∴AM=AF，∴CF=BM=AB+AM=AB+AF，即CF=AB+AF． 【5】. （2009?烟台）如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠AFC=∠C；②DE=CF；③△ADE∽△FDB；

④∠BFD=∠CAF 其中正确的结论是①③④．

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 专题：压轴题．

分析：先根据已知条件证明△AEF≌△ABC，从中找出对应角或对应边．然后根据角之间的关系找相似，即可解答．

解答：解：在△ABC与△AEF中∵AB=AE，BC=EF，∠B=∠E∴△AEF≌△ABC，所以AF=AC，则∠AFC=∠C；由∠B=∠E，∠ADE=∠FDB，可知：△ADE∽△FDB；由于∠EAF=∠BAC，所以∠EAD=∠CAF，由△ADE∽△FDB可得∠EAD=∠BFD，所以∠BFD=∠CAF． 综上可知：①③④正确．

点评：本题是一道基础题，但考查的知识点较多，需要根据条件仔细观察图形，认真解答． ①正确。易证△ABC≌△AEF→→AF＝AC, ∴∠AFC＝∠C ②不正确∵EF=BC, 假如DE=CF, 则DF=BF,此时∠B＝∠ADE＝∠E, 那么AD=AE=AB, 这与AD≤AB矛盾，∴不正确。 ③正确。 ∵∠B＝∠E, ∠BDF＝∠EDA, ∴△ADE∽△FDB. ④正确。 由③知∠BFD＝EAD, 由①知∠EAF＝∠BAC, ∴∠EAD＝∠CAF, ∴∠BFD＝∠CAF. 【附加】已知：如图所示，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G． （1）求证：BF=AC； （2）求证：DG=DF． 考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 专题：证明题． 分析：（1）根据三角形的内角和定理求出∠A=∠DFB，推出BD=DC，根据AAS证出△BDF≌△CDA即可； （2）由已知条件和角平分线的性质求出∠DGF=∠DFG=67.5°，即可证明DG=DF． 解答：（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°， ∴∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°，∴∠A=∠DFB，∵∠ABC=45°，∠BDC=90°， ∴∠DCB=90°-45°=45°=∠DBC，∴BD=DC，在△BDF和△CDA中 ∵∠BDF＝∠CDA, ∠A＝∠DFB, BD＝CD，∴△BDF≌△CDA（AAS），∴BF=AC； . （2）证明：∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°，∴∠ABE=∠CBE=22.5°，∵∠BDF=∠BHG=90°，∴∠BGH=∠BFD=67.5°，∴∠DGF=∠DFG=67.5°，∴DG=DF． 点评：本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出△BDF≌△CDA和△AEB≌△CEB，题目综合性比较强． 【6】.（2007?成都）已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G． （1）求证：BF=AC；（2）求证：CE=12 BF； （3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论． 考点：全等三角形的判定与性质． 专题：几何综合题；压轴题． 分析：（1）利用ASA判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出BF=AC． （2）利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=112 AC，又因为BF=AC所以CE=2 AC=12 BF（3）利用等腰三角形“三线合一”）和勾股定理即可求解． 解答：（1）证明：∵CD⊥AB，∠ABC=45°，∴△BCD是等腰直角三角形．∴BD=CD． ∵∠DBF=90°-∠BFD，∠DCA=90°-∠EFC，且∠BFD=∠EFC，∴∠DBF=∠DCA． 在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∠DBF＝∠DCA,BD＝CD,∠BDF＝∠ADC