2、在四棱锥P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD， AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点. 求证：平面BEF⊥平面PAD
3、如图，正方形ABCD所在平面与以AB为直径的半圆O所在平面ABEF互相垂直，P
1直线AP⊥平面PBC。②平面PBC⊥平为半圆周上异于A，B两点的任一点，求证：○
面APC
2AB，ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥底面ABC，2且，若G、F分别是EC、BD的中点，（Ⅰ）求证：GF//底面ABC； （Ⅱ）求几何体ADEBC的体积V。
4、如图，三角形ABC中，AC=BC=
E D 5、如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，
AB?2，AC?BC?2．等边三角形ADB以AB为轴运F G B C 动．（Ⅰ）当平面ADB?平面ABC时，求CD；
五、体积问题
A 1. 如图，ABCD?A1B1C1D1是正四棱柱侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点。 （1）求证：BD1//平面C1DE； （2）求三棱锥D?D1BC的体积.
D1A1DPC1B1CEBDAOBC练习1：三棱锥P?ABC中，?PAC和?PBC都
是边长为2的等边三角形，AB?2，O、D分别是AB、PB的中点． （1）求证：（2）求证：平面PAB⊥OD//平面PAC平面ABC；
（3）求三棱锥A?PBC的体积．
A2、如图,长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?AA1?1,AD?2,E是BC的中点.
(I)求证：平面A1AE?平面D1DE； (II)求三棱锥A?A1DE的体积.
A1 B1 A B E C C1 D1
3、如图，在四棱锥P-ABCD中，
P
D E
PD垂直于底面ABCD，底面ABCD是
D
A C
B
直角梯形， DC//AB,?BAD?90o,且AB?2AD?2DC?2PD?4（单位：cm），Ｅ为ＰＡ的中点。（１）如图，若主视方向与ＡＤ平行，请作出该几何体的左视图并求出左视图面积；（２）证明：DE//平面PBC；
4、已知某几何体的直观图(图1)与它的三视图(图2)，其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形.已知D是这个几何体的棱上的中点。
（Ⅰ）求出该几何体的体积； （33） （Ⅱ）求证：直线BC1//平面AB1D； (Ⅲ)求证:平面AB1D?平面AA1D.
3
5、是
已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线半圆），根据图中标出的数据，
（Ⅰ）求这个组合体的体积；（Ⅱ）若组合体
的
底部几何体记为ABCD?A1B1C1D1，其中A1B1BAC A C1 D A1 A1C1为正方形.（i）求证：A1B?平面AB1C1D；（ii）求证：P为棱A1B1上一点，求AP?PC1的最小值.
六:等体积法求高（距离）：h 如：三棱锥 VF?BEC= VB?EFC111 S?BECh
31=S?EFCBE
113例题（2010广东文数）如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC?平面BED,FB=5a （1）证明：EB?FD （2）求点B到平面FED的距离. 练习1：已知ABC―A1B1C1是正三棱柱，棱长均为5，E、
F分别是AC、A1C1的中点，
（1）求证：平面AB1F∥平面BEC1 （2）求点A到平面BEC1间的距离
A1
2、如图，在四棱锥面ABCD；四边形ABCD是
?BCD?60?，经过AC作与
P F B1 E
C1
P?ABCD中，PD?平
E 菱形，边长为2，
PD平行的平面交C A D F B C A
例题
PB与点E，ABCD的两对角线交点为（Ⅰ）求证：AC?DE；（Ⅱ）若EF?3，F．B
求点D到平面PBC的距离．
3、如图4，在四棱锥P?ABCD中，平面PAD?平面ABCD，AB∥DC，
△PAD是等边三角形，已知BD?2AD?4，AB?2DC?25．
P （1）求证：BD?平面PAD； （2）求三棱锥A?PCD的体积．
4．如图，己知?BCD中，?BCD?900，BC?CD?1,AB?平面BCD，
?ADB?600,E,F分别是AC,AD上的动点，且
D A C B AEAF==?,(0
5、(2012广东文数）如图5所示，在四棱锥P?ABCD中，AB?平面PAD，AB//CD,PD?AD，E是PB中点，
F是DC上的点，且DF?1AB，PH为?PAD中AD边上的高。 212（1）证明：PH?平面ABCD；
（2）若PH?1,AD?2,FC?1，求三棱锥E?BCF的体积； （3）证明：EF?平面PAB．
6、（2012佛山一模）如图，三棱锥P?ABC中， PB?底面ABC，
?BCA?90o， PB?BC?CA?4，E为PC的中点，
M为AB的中点，点F在PA上，且AF?2FP.
（1）求证：BE?平面PAC； （2）求证：CM//平面BEF； （3）求三棱锥F?ABE的体积.
7、如图所示四棱锥P?ABCD中, PA?底面ABCD,四边形ABCD中,AB?AD,BC//AD,PA?AB?BC?2,AD?4,E为PD的中 点,F为PC中点.
（1）求四棱锥P－ABCD的体积；
（2）求证:CD?平面PAC； （3）在棱PC上是否存在点M（异于点C），使得BM∥平面PAD， 若存在，求
的值，若不存在 ，说明理由。；
8、（惠州市2013）
如图,在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱AA1?底面ABC,
AB?BC,D为AC的中点,A1A?AB?2,BC?3.
(1)求证：AB1//平面BC1D； (2) 求四棱锥B?AA1C1D的体积.
A1ADB1BC1C
立体几何证明方法汇总
