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?A1x?B1y?C1z?D1?0称之为直线的一般式方程 ??A2x?B2y?C2z?D2?05、两直线间关系
设直线l1，l2的方程为
l1:x?x1y?y1z?z1?? m1n1p1x?x2y?y2z?z2?? m2n2p2l1:直线l1，l2平行的充分必要条件为m1n1?； m2n2直线l1，l2互相垂直的充分必要条件为m1m2?n1n2?p1p2?0 6、直线l与平面?间的关系 设直线l与平面?的方程为 l:x?x0y?y0z?z0?? mnp?:A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0
直线l与平面?垂直的充分必要条件为： ABC?? mnp直线l与平面?平行的充分必要条件为：?Am?Bn?Cp?0
?Am0?Bno?Cp0?D?0?直线l落在平面?上的充分必要条件为?Am?Bn?Cp?0
Am?Bn?Cp?D?0o0?0?将初等函数展开成幂级数
1、定理: 设f(x)在U(x0,?)内具有任意阶导数,且
f(n?1)(?)(x?x0)n?1则在U(x0,?)内 limRn(x)?0 ，Rn(x)?n??(n?1)!f(x)??n?0?f(n)(x0)(x?x0)n n!.
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称上式为f(x)在点x0的泰勒级数。或称上式为将f(x)展开为x?x0的幂级数。 2、几个常用的标准展开式 ①1???xn1?x n?0②1???(?1)n1?xxn n?0③ex???xnn! n?0??nx2n?1④sinx?(?1)n?0(2n?1)! ?cosx??(?1)nx2n⑤n?0(2n)! 1?x)???(?1)nxn⑥ln(n?0n ⑦ln(1?x)???xnn??0n 常微分方程
1、一阶微分方程
（1）可分离变量的微分方程
若一阶微分方程F(x,y,y?)?0通过变形后可写成g(y)dy?f(x)dx 则称方程F(x,y,y?)?0为可分离变量的微分方程. 2、、可分离变量微分方程的解
方程g(y)dy?f(x)dx必存在隐式通解G(y)?F(x)?C。其中：
G(y)??g(y)dy,F(x)??f(x)dx.
即两边取积分。
（2）一阶线性微分方程
1、定义：方程 y??P(x)y?Q(x) 称为一阶线性微分方程. (1) 非齐次方程——Q(x)?0；
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或 y??f(x)g(y) .
(2) 齐次方程 —— y??P(x)y?0. 2、求解一阶线性微分方程
?P(x)dx（1）先求齐次方程y??P(x)y?0的通解：y?Ce?, 其中C为任意常数。 ?P(x)dx（2）将齐次通解的C换成u(x)。即 y?u(x)e?
（3）代入非齐次方程y??P(x)y?Q(x), 得
?P(x)dx?P(x)dxq(x)e?dx?C? y?e??????2、二阶线性常系数微分方程
（1）可降阶的二阶微分方程 1、y???f(x)型的微分方程 例3： 求方程y???12x1e?sinx的通解.分析：y???y??dx?e2x?cosx?C1； 241y??y?dx?e2x?sinx?C1x?C2.
82、y???f(x,y?)型的微分方程 解法：
(1) 令p?y?，方程化为 p??f(x,p)； (2) 解此方程得通解 p??(x,C1)； (3) 再解方程 y???(x,C1) 得原方程的通解 y??(x,C1)dx?C2. 3、y???f(y,y?)型的微分方程 解法：
(1) 令p?y?, 并视p为y的函数, 那么y????dpdpdydp, ???pdxdydxdy(2) 代入原方程, 得 pdp?f(y,p) dy(3) 解此方程得通解 p??(y,C1)；
(4) 再解方程 y???(y,C1) 得原方程的通解
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dy??(y,C1)?x?C2.
例4：求方程yy???y??0的通解.
分析：(1) 令p?y?, 并视p为y的函数, 那么y???2dpdpdydp, ???pdxdydxdy(2) 代入原方程, 得 ypdpdpdy ?p2?0 或 ?dypy(3) 解上方程, 得 ln|p|?ln|y|?lnC ? p?C1y, (C1??C). (4) 再解方程 y??C1y ?
y??. ?C1 ? ln|y|?C1x?C2yC1x(5) 于是原方程的通解为 y?C2e（2）常系数线性微分方程
, (C2??eC2)
?（1）、二阶常系数齐次线性方程y???py??qy?0的解。 写出特征方程并求解
r2?pr?q?0.
下面记??p?4q,r1,r2为特征方程的两个根. （1）??p?4q?0时, 则齐次方程通解为：
22y?C1er1x?C2er2x。
（2）??p?4q?0时, 则齐次方程通解为
2y?C1er1x?C2xer1x?er1x(C1?C2x).
（3）??p?4q?0时,有r1???i?,r2???i? (??0),则齐次方程通解为
2y?e?x(C1cos?x?C2sin?x).
（2）二阶常系数非齐次方程解法
方程的形式：y???py??qy?f(x) 解法步骤： (1) 写出方程的特征方程 r?pr?q?0； (2) 求出特征方程的两个根r1,r2；
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2.
(3) 原方程的通解如下表所示: 特征方程的根 方程的通解
r1?r2 r?r1?r2 r???i? C1er1x?C2er2x (C1?C2x)erx e?x(C1cos?x?C2sin?x) (??0) * (4) 再求出非齐次方程的一个特解 y(x)；
(5)那么原方程的通解为 y?C1y1(x)?C2y2(x)?y(x)。
单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善 * 教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。
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专升本高等数学知识点汇总
