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f''(x)?0，则曲线y?f(x)在(a,b)内是凹的。 f''(x)?0，则曲线y?f(x)在(a,b)内是凸的。
4、曲线的拐点
（1）当f(x)在x0的左、右两侧异号时，点(x0,f(x0))为曲线y?f(x)的拐点，此时
''f''(x0)?0.
（2）当f(x)在x0的左、右两侧同号时，点(x0,f(x0))不为曲线y?f(x)的拐点。 5、函数的最大值与最小值
极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。
''四、微分公式
dy?f'(x)dx，求微分就是求导数。
一元函数积分学 一、不定积分
1、定义，不定积分是求导的逆运算，最后的结果是函数+C的表达形式。公式可以用求导公式来记忆。
2、不定积分的性质
（1）[f(x)dx]'?f(x)或df(x)dx?f(x)dx
??（2）F'(x)dx?F(x)?C或dF(x)?F(x)?C
??（3）[f(x)??(x)????(x)]dx???f(x)dx???(x)?????(x)dx。
（4）kf(x)dx?kf(x)dx（k为常数且k?0）。 2、基本积分公式（要求熟练记忆） （1）0dx?C （2）xdx?（3）
????a1a?1x?C(a??1). a?11?xdx?lnx?C.
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（4）adx??x1xa?C (a?0,a?1) lna（5）exdx?ex?C
?（6）sinxdx??cosx?C （7）cosxdx?sinx?C
??1?cos2xdx?tanx?C.
1（9）?dx??cotx?C. 2sinx（8）（10）
?11?x2dx?arcsinx?C.
（11）
1?1?x2dx?arctanx?C.
3、第一类换元积分法
对不定微分g(x)dx，将被积表达式g(x)dx凑成
?g(x)dx?f[?(x)]?'(x)dx?f?(x)d?(x)，这是关键的一步。
常用的凑微分的公式有：
1f(ax?b)d(ax?b) a1kk?1（2）f(ax?b)?xdx?f(axk?b)d(axk?b)
ka（1）f(ax?b)dx?（3）f(x)?1xdx?2fxdx
（4）f()?x1x111dx??f()d 2xxxxxx（5）f(e)?edx?f(e)d(e) （6）f(lnx)?1dx?f(lnx)d(lnx) x（7）f(sinx)?cosxdx?f(sinx)d(sinx) （8）f(cosx)?sinxdx??f(cosx)d(cosx)
1dx?f(tanx)d(tanx)
cos2x1（10）f(cotx)?dx??f(cotx)d(cotx) 2sinx（9）f(tanx)?.
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（11）f(arcsinx)?11?x11?x22dx?f(arcsinx)d(arcsinx)
（12）f(arccosx)?dx??f(arccosx)d(arccosx)
（13）f(arctanx)?1dx?f(arctanx)d(arctanx) 1?x2?'(x)（14）dx?d(ln?(x)) (?(x)?0)
?(x)4、分部积分法
?udv?uv??vdu
二、定积分公式
1、（牛顿—莱布尼茨公式） 如果F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的任意一个原函数，则有
? b af(x)dx?F(b)?F(a)。
y 2、计算平面图形的面积
如果某平面图形是由两条连续曲线
y?f(x) y1?g(x),y2?f(x)及两条直线x1?a和x2?b所
围成的（其中y1是下面的曲线，y2是上面的曲线），则其面积可由下式求出：
y?g(x) a o b x S??[f(x)?g(x)]dx.
ab3、计算旋转体的体积
设某立体是由连续曲线y?f(x)(f(x)?0)和直线x?a,x?b(a?b)及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体，如图所示。则该旋转体的体积V可由下式求出：
y y?f(x) Vx???f2(x)dx???f2(x)dx.
aabb
o a x x+dx b x 多元函数微分学
1、 偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数。
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2、全微分公式：dz?df(x,y)?A?x?B?y。 3、复合函数的偏导数——利用函数结构图
如果u??(x,y)、v??(x,y)在点(x,y)处存在连续的偏导数
?u?v?v?u ，， ，，
?y?x?y?x且在对应于(x,y)的点(u,v)处，函数z?f(u,v)存在连续的偏导数
?z?z，，则复合函数?u?vz?f[?(x,y),?(x,y)]在点(x,y)处存在对x及y的连续偏导数，且
?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v??，。 ???x?u?x?v?x?y?u?y?v?y
4、隐函数的导数
对于方程F(x,y)?0所确定的隐函数y?f(x)，可以由下列公式求出y对x的导数y：
'Fx'(x,y)， y??'Fy(x,y)'2、隐函数的偏导数
对于由方程F(x,y,z)?0所确定的隐函数z?f(x,y)，可用下列公式求偏导数：
Fy'(x,y,z)Fx'(x,y,z)?z?z， ， ??'??'?yFz(x,y,z)?xFz(x,y,z)5、二元函数的极值
设函数z?f(x0,y0)在点(x0,y0)的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数，且
''''''fx'(x0,y0)?0，fy'(x0,y0)?0又设fxx(x0,y0)?A，fxy (x0,y0)?B，fyy(x0,y0)?C，
则：
（1）当B?AC?0时，函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值，且当A?0 时有极大值，当A?0时有极小值。
（2）当B?AC?0时，函数f(x,y)在点(x0,y0)处无极值。
（3）当B?AC?0时，函数f(x,y)在点(x0,y0)处是否有极值不能确定，要用其它方法另作讨论。
222.
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平面与直线
1、平面方程
（1）平面的点法式方程：在空间直角坐标系中，过点M0(x0,y0,z0)，以n?{A,B,C}为法向量的平面方程为
A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0 称之为平面的点法式方程
（2）平面的一般式方程
Ax?By?Cz?D?0 称之为平面的一般式方程 2、特殊的平面方程
Ax?By?Cz?0 表示过原点的平面方程 Ax?By?D?0 表示平行于Oz轴的平面方程 Ax?By?0 表示过Oz轴的平面方程
Cz?D?0 表示平行于坐标平面xOy的平面方程
3、两个平面间的关系
设有平面 ?1:A1x?B1y?C1z?D1?0
?2:A2x?B2y?C2z?D2?0
平面?1和?2互相垂直的充分必要条件是：A1A2?B1B2?C1C2?0 平面?1和?2平行的充分必要条件是：A1B1C1D1 ???A2B2C2D2A1B1C1D1 ???A2B2C2D2平面?1和?2重合的充分必要条件是：4、直线的方程
（1）直线的标准式方程 过点M0(x0,y0,z0)且平行于向量s?{m,n,p}的直线方程 x?x0y?y0z?z0??称之为直线的标准式方程（又称点向式方程、对称式方程）。 mnp常称s?{m,n,p}为所给直线的方向向量
（2）直线的一般式方程
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专升本高等数学知识点汇总
