r?2ax?0∴?，可取n?(0,1,1)， ??2ay?2az?0uuurruuurrCB?na1rr?∴cos?CB,n??uuu?， |CB|?|n|2a2?22uuurr∴?CB,n??60?，
∴直线BC与平面PAC的夹角为90°－60°=30° 故选A。 7.【答案】D
Q OP?平面ABC，OA?OC，AB?BC，? OA?OB，OA?OP，OB?OP. 【解析】以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O?xyz?如图?，
?2?????22设AB?a，则A?a,0,0,B0,a,0,C?a,0,0????2???2???2?.??????设OP?h，则P?0,0,h?.Q PA?2a,7? h?a,2uuur?214?? OD???a,0,a??4?,4??r?1?可求得平面PBC的法向量n???1,1,???, 7??uuurruuurrOD?n210? cos?OD,n??uuu.rr?30OD?n设OD与平面PBC所成的角为?，uuurr210则 sin??cos?OD,n??,30.8.【答案】
zPDxAOBCy3 3【解析】 由cos?n,b??(3,3,0)?(1,1,)32?32?1?1?1?6，知l与?所成角的余弦值为31?
63?. 939.【答案】30?
【解析】 以A为原点建立直角坐标系（如图所示），设B（2，0，0），
则E（1，0，0），F（2，2，1），C1（2，2，2），A1（0，0，2），
uuuuruuur∴EF?(1,2,1)，AC11?(2,2,0)，
uuuruuuuruuuruuuurEF?AC(1,2,1)?(2,2,0)311uuuruuuur????∴cos?EF,AC， 112|EF|?|AC6?2211|uuuruuuur ∴cos?EF,AC11??30?.
10.【答案】
3 4 【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角.
过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴ E为BC中点，∵ BC⊥AE，SA⊥BC，∴ BC⊥面SAE， ∴ BC⊥AF，AF⊥SE，∴ AF⊥面SBC，
∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，
3∴ AE?3，AS=3，∴ SE=23，AF=2，
∴
11.【答案】
sin?ABF?34.
311 11 【解析】
因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE， 所以AE⊥AB.
又因为平面ABEF⊥平面ABCD，AE?平面ABEF， 平面ABEF∩平面ABCD=AB， 所以AE⊥平面ABCD. 所以AE⊥AD.
因此，AD，AB，AE两两垂直，以A为坐标原点，建
立 如图所示的直角坐标系A-xyz.
设AB=1，则B（0，1，0），D (1， 0， 0 ) ， E ( 0，
0， 1 )， C ( 1， 1， 0 ).
因为FA=FE， ∠AEF = 45°，所以∠AFE= 90°. 从而，F(0,?所以，
11,). 22urur设平面BDF的一个法向量为n1，并设n1=（x，y，z）.
uuur?31?uuurBD=?1，， 10?，BF=?0， ，?
?22?ruuur?x y?0，??ngBD?0，?， 由?ruuu 得?3 r1 y?z?0.???ngBF?0.?22uuv 取y=1，则x=1，z=3.从而n1?. （，113，）uuur0，1?由AE⊥平面ABCD可知，平面ABD的一个法向量为AE=?0，，
设平面BDF和平面ABD的夹角为?，则uuruuur0?0?3311.cos??cosn1，AE?=11 11
12.【解析】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系D?xyz，设DA为单位长，则
=，=.
连结BD，B1D1，在平面BB1D1D内，延长DP，交B1D1于点H，
设=( m > 0 )，
由条件知 <，> = 60°.
由·=||||cos<，> ，
可得2m =.
解得m =.所以=.
（Ⅰ）因为cos<， >=，
所以<， >=
，即DP与CC1所成的角的大小是45°.
（Ⅱ）因为平面的一个法向量是，
又cos<，>=，
所以<，>=
. 即DP与平面A1ADD1所成角的大小为60°.
注意：由于点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线D1B上且∠PDA=60°，直接设点P的坐标则会出现多个变量，因为所求的两问都是求与DP相关的角度问题，因此根据点P的位置特征只确定DP所在的直线的位置即可，因此出现上面解法. 显然尽管求解过程是用向量的坐标方法，但空间想象与思辨论证的要求并没有降低，体现了对学生全面的几何方法的考查.
13.【解析】如图，以为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系.
设平面ABF的法向量为，
则由得
令，得.
同理，可求得平面ADF的法向量.
因为，所以平面ABF与平面ADF垂直.
所以平面ABF与平面ADF的夹角
?. 214.【解析】
15.【解析】
(Ⅰ)延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．
空间向量在立体几何中的应用——夹角的计算习题详细答案
