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第20章 变质量动力学
一、思考题
20-1 变质量质点的运动微分方程
之间有何区别?
答：变质量质点的运动微分方程可以由质点动量定理推出：
与质点动量定理
其中（υ入－υ）与（υ出－υ）分别表示射入质点dm入与分出质点dm出相对于m质点的速度，分别以υr入和υr出表示。
故上式可写成
①
②
则式①可以改写为
③
④
联立式②③④得
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www.100xuexi.com 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 20-2 反推力Fφ与Fφα有何异同?它们是怎样产生的?
答：Fφ为火箭动力系统对火箭整体的推力；Fφα为除去火箭动力系统后外力对火箭剩余部分的力；它们均为外力。
20-3 要达到较高的速度，多级火箭为什么比单级火箭优越?
答：火箭的特征速度υm＝nυr/lnz，当n较大时，υm就越大，故多级火箭更容易达到更大的速度。
20-4 多级火箭欲达到给定的最终速度，如何分配各级火箭的质量能使总质量为最小? 答：υm＝nυr/lnz可得n级火箭每相邻两段火箭长度之比为 ln（k＋1）／lnk时，总质量最小。
20-5 变质量质点的动量定理、动量矩定理及动能定理与定质量质点的三大定理有何区别?这一区别是怎样产生的?
答：区别在于多了一个质点质量变化的微分，这是由质量的变化造成的。 二、习题
20-1 一变质量摆在阻力与速度成比例的介质中运动。摆的质量由于质点的离散，按已知规律m＝m（t）而变化，且质点离散的相对速度为零。已知摆线长为l，摆上受到与其角速度成比例的阻力FR微分方程式。
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???l?（?为摆的角速度，β为常数）的作用，试写出摆的运动
www.100xuexi.com 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 解：定质量下单摆的运动方程为：
方程两边同乘m，可得：
①
变质量下质点的运动方程为：
②
将v与?做替换，联立①②单摆的运动微分方程式为：
20-2 试写出火箭上升的运动微分方程式。火箭喷射气体的相对速度υr可看作常数，火箭质量随时间变化的规律为m＝mOf（t）（燃烧规律），空气的阻力是火箭速度和它位置的已知函数：FR?FR(x,x)。
解：设火箭的初始质量为m0－（包括壳体的质量mg和燃料的质量mp）。火箭的瞬时质量为m1,单位时间燃料消耗率为：
燃气喷出的相对速度为vr,，根据
可得火箭的运动微分方程为：
代入上式可得：
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www.100xuexi.com 圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 ?f(t)FR(x,x)?x???g?vr??
f(t)m0f(t)??
20-3 链条长l，每单位长度的质量为ρ，堆放在地面上，如图20-1所示。在链条的一端作用一力F，使它以不变的速度υ上升。假设尚留在地面上的链条对提起部分没有力作用。求力F的表达式F（t）和地面约束力FN的表达式FN（t）。
图20-1
解：
图20-2
先对链条受力分析，分两部分，一部分为脱离地面的链条，一部分为地面上的链条，取链条上的一段质量dm，则提起来的dm'段链条与m'段链条之间的相对速度为零，选取dm 为研究对象，运用微分方程联立求解。被研究的那段链条的质量为m＝?x，dm＝?dx，将变质量质点的运动微分方程式向y 轴投影，则有：
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www.100xuexi.com ①
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取平台上那段链条为研究对象，其质量m'＝?(l?x)，
???dx，向x轴投影，则有： dm出
②
联立①②，由S＝S’可得：
整体向y轴投影，则有：
③
联立①②③，得
20-4 如图20-3所示，一小型气垫船沿水平方向运行，初始质量为mO，以c kg/s的速率均匀喷出气体，相对喷射速率υr为常量，阻力近似地与速度成正比，即F??fv。设开始时船静止，求气垫船的速度随时间变化的规律。
图20-3
解：取气垫船为研究对象，设气垫船t时刻的质量为m（t），则该时刻的动力学方程为：
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哈工大理论力学教研室《理论力学Ⅱ》(第7版)课后习题(变质量动力学)
