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2015年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）A （2）D （3）B （4）C （5）B （6）A （7）C （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）?1 （10）log25 （11）三、解答题（共6小题，共80分） （15）（13分）解：（Ⅰ）
? （12）3 （13）7 （14）乙 数学 4f?x??sinx?3cosx?3
?2sin?x???????3 3? ?f?x?的最小正周期为2?.
2???,??x???. 333?2?当 x??? 时，即x?时，f?x?取得最小值.
33（Ⅱ）
0?x?所以f?x?在?0,?2??上的最小值为??3??2?f??3????3. ?(16)(共13分)解：（Ⅰ）设等差数列?an?的公差为d. 又
a4?a3?2,?d?2.
a1?a2?10,?2a1?d?10,?a1?4.
?an?4?2?n?1??2n?2?n?1,2, （Ⅱ）设等比数列?bn?的公比为q.
?.
b2?a3?8,b3?a2?16,
?q?2,b1?4. ?b6?4?26?1?128. 由128?2n?2,?n?63. ?b6与数列?an?的第63项相等.
（17）（共13分）解：（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙， 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为
200?0.2 1000（Ⅱ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁， 另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品。 所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：
100?200?0.3
1000200?0.2， 1000100?200?300?0.6， 顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为
1000100?0.1， 顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为
1000 顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大。 （18）（共14分）解：（Ⅰ）因为O,M分别为AB,VA的中点， 所以OMVB 又因为VB?平面MOC, OM?平面MOC 所以VB平面MOC
（Ⅱ）因为AC?BC，O为AB的中点， 所以OC?AB.
又因为平面VAB?平面ABC，且OC?平面ABC， 平面VAB 平面ABC ?AB
所以OC?平面VAB，又因为OC?平面MOC 所以平面MOC?平面VAB
（Ⅲ）在等腰直角?ABC中，AC?BC?2,
所以AB?2,OC?1.
所以正?VAB的面积S?VAB?3. 又因为OC?平面VAB，
所以VC?VAB?13OC?S?VAB?, 33
又因为VV?ABC?VC?VAB, 所以VV?ABC?3. 3(19) (共13分)
x2?klnx?k?0? 解：（Ⅰ）由f?x??2 所以f?x?的定义域为?0,???
kx2?k. f'?x??x??xx 令f'?x??0, 解得x?k f?x?与f'?x?在区间?0,???上的情况如下：
x f'?x? f?x?
?0,k? ? 减 k 0 ?k,?? ?? 增 k?1?lnk? 2 所以，f?x?的单调减区间为0,k，单调增区间为 f?x?在x????k,??；
?k处取得极小值f??k?1?lnk?k?.
2（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f?x?在区间?0,???上的最小值为f??k?k?1?lnk?. 2k?1?lnk??0，所以k?e. 因为f?x?存在零点，所以
2① 当k?e时，f?x?在区间1,e?上单调递减，且f???e??0.
1?0,f2所以x?e是f?x?在区间1,e??上的唯一的零点.
?② 当k?e时，f?x?在区间0,e?上单调递减，且f?1??????e?e?k?0. 2所以f?x?在区间1,e?上仅有一个零点.
?? 综上可知：若f?x?存在零点，则f?x?在区间1,e?上仅有一个零点。
??
(20) (共14分)
x2?y2?1. 解：（Ⅰ）椭圆C的标准方程为3 所以a?3, b?1, c?2.
所以椭圆C的离心率e?c6?. a3（Ⅱ）因为直线AB过点D?1,0?且垂直于x轴， 所有可设A?1,y1?,B?1,?y1?. 直线AE的方程为y?1??1?y1??x?2?.
令x?3， 得M?3,2?y1?.
所以直线BM的斜率kBM?2?y1?y1?1.
3?1（Ⅲ）直线BM与直线DE平行，证明如下：
①当直线AB的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知kBM?1.
又因为DE的斜率kDE?1?0?1. 所以BMDE 2?1②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y?k?x?1??k?1?.
设A?x1,y1?,B?x2,y2?, 则直线AE的方程为y?1?y1?1?x?2?. x1?2 令x?3， 得点M?3,??x1?y1?3??.
x1?2?
22??x?3y?32222由? 得?3k?1?x?6kx?3k?3?0. ??y?k?x?1??6k2x?x???123k2?1 所以 ?
2?xx?3k?312?3k2?1?x1?y1?3?y2x1?2. ?3?x2 直线BM的斜率kBM 因为kBMx1?k?x1?1??3?k?x2?1??x1?2???3?x2??x1?2? ?1?3?xx?2?2??1??x1x2?2?x1?x2??3??k?1????
??3?x2??x1?2?
??3k2?312k2??k?1??2?2?3??3k?13k?1??0 ??3?x2??x1?2? 所以kBM?1?kDE， 所以BMDE 综上所述，直线BM与直线DE平行.
2015年北京高考数学文科试题及答案
