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一、单项选择题
1．设f(x,y)在点(a,b)处的偏导数存在，则
f(a?x,b)?f(a?x,b)= 。 limxx?0A、 0； B、fx(2a,b)； C、fx(a,b)； D、2fx(a,b)。
2．设曲面z?f(x,y)与平面y?y0的交线在点(x0,y0,f(xo,y0))处的切线与x轴正向所成的角为?，6则 。
A、f3x(x0,y?0)?cos6?2； B、f??1y(x0,y0)?cos(2?6)?2；
C、fx?3??x(0,y0)?tg6?3； D、fy(x0,y0)?tg(2?6)?3。
?3．
limun?0是级数un发散的 。
n???n?0A、 必要条件； B、充分条件； C、充要条件； D、既非充分又非必要。 4．在区域D：0?y?R2?x2上的??xy2d?值为 。
DA、?R2； B、4?R2； C、2?R3
3
； D、0。
5．下列函数中，哪个是微分方程dy?2xdx?0的解 。
A、y?2x； B、y?x2； C、y??2x； D、y??x2。 二、 是非判断题（15分）
1．
?xdy?ydxLx2?y2=0，其中L为圆周x2?y2?1按逆时针转一周（ ） 2．如果???x，???y均存在，则???(x,y)沿任何方向的方向导数均存在（ ）
3．以f(x,y)为面密度的平面薄片D的质量可表为
??f(x,y)d?。
（ ） D4．f(x)在(0,?]上连续且符合狄利克雷条件，则它的余弦级数处处收敛，且[0,?]上收敛于f(x)。（ 1． 微分方程的通解包含了所有的解。（ ） 三、计算题（16分）
． 设??f(x2?y2,exy)，其中f具有一阶连续偏导数，求?21????x，?x?y。
2． 已知yz?zx?xy?1，确定的z?z(x,y)，求dz。
四、（10分）求
???(x2?y2)dxdydz的值，其中?为曲面x2?y2?2z和平面z?2所围成的区域。 ?五、（12分）验证：xdy?ydxx2?y2在右半平面(x?0)内是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数。 六、（10分）求
??x2dydz?z2dxdy，其中?为z?x2?y2和z?1所围立体边界的外侧。 ??y???y?sin2x?七、（12分）求微分方程?0?y(?)?1的特解。
??y?(?)?1?（10分）求?xn八、的和函数。n?0n?1
6
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参考答案
一、单项选择题（15分，每题3分）
1、 D； 2、C； 3、A； 4、D； 5、B。 二、是非判断题（15分，每题3分） 1、×； 2、×； 3∨、； 4、∨； 5、×。 三、计算题（16分）
?u?f1??2x?f2?yexy……4分 ?x?2u??(?2y)?f12???xexy]?yexy[f21??(?2y)?f22??xexy]?f2?exy?f2?xyexy ?2x[f11?x?y???2x2exyf12???2y2exyf21???xye2xyf22???exyf2??xyexyf2?……10分 ??2xyf112．F?yz?zx?xy?1……1分
1．
?Fx?z?y??Fy?z?x……3分 ??Fz?y?xF?zz?y??x?? ?xFzy?xFy?zz?x……5分 ??????yFzy?x1?dz??[(y?z)dz?(x?z)dy]……6分
x?y?四、(10分)
2232?dz……6分 (x?y)dxdydz?d?d?????????0022?22?16?……10分 3?yx?? 2222x?yx?y五、（12分）P????Py2?x2……4分 ?2?22?x?y(x?y)在右半平面内恒成立，因此在右半平面内
xdy?ydx是某个函数的全微分……6分
x2?y2u(x,y)??(x,y)(1,0)xdy?ydx……8分 22x?y??y0xdyyyy……12分 ?arctg?arctg220xxx?y六、（10分）
2?1??xdydz?z?1r22dxdy????(2x?2z)dxdydz……4分
??2?d??rdr?(rcos??z)dz……8分
002?……10分 32七、（12分）?r?1?0 ?r??i……2分
*设此方程的特解为：y?Acos2x?Bsin2x代入原方程得 ?
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?3Acos2x?3Bsin2x??sin2x ?A?0???1……6分
B??3?故此方程的通解为：y?c1cosx?c2sinx?代入初始条件 c1??1,c2??1sin2x……10分 31 311? 特解为：y??cosx?sinx?sin2x……12分
33n?1?1 ?R?1 ……2分 八、（10分）??limn??n?2从而收敛域为[?1,1) xn设S(x)??
n?1n?0?xn?1 ?xsin(x)??n?1n?0??(xS(x))???xn?n?0?1 (x?1) 1?x?xS(x)??1dx??ln(1?x) (?1?x?1)……8分
01?x1? 当x?0时，有S(x)??ln(1?x)
xS(0)?limS(x)?1
xx?0?1??ln(1?x),x?[?1,0)?(0,1)?S(x)??x……10分
??1,x?0
三、计算题（每小题7分，共49分）
111、求极限 lim(?).
x?1lnxx?1解:lim(11x?1?lnx?) ?lim ?limx?1lnxx?1(x?1)lnxx?1x?1x?1?lnxxx?111 ?lim ?lim ? x?1x?1?xlnxx?11?lnx?122xx?11?1x?2x?2、求极限 lim??x?1x?1??.
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?2x?解:设y????x?1?2xx?1
2x2x?lnx?1x?1x?1x?1x?12(x?1)?2x2x?ln2x(x?1)2x?1?lim ?1 ?limx?1x?1x?111?22x2x故原式?e
3、设 y?sinx?cosx?tanx?cotx?cscx.求y?
y??cosx?sinx?sce2x?csc2x?cscx?cotx
1 4、设y(x)?cos(sin)，求dy．x111dy?y?(x)dx?2?sin(sin)?cosdx
xxx 则limlny?lim7、求函数y?x5?5x4?5x3?1在??1,2?上的最大值,最小值
y??5x2(x?1)(x?3)
在?1，2上的驻点：x1?0，x2?1
而y(0)?1，y(1)?2，y(?1)??10，y(2)??7
??? ymax?y(1)?2 ymin?y(?1)??10四、问答题（每小题6分，共12分）
x2?11、指出f(x)?2的间断点，并判别其类型．
x?x(x?1)(x?1)f(x)?，x?0与x?1是f(x)的间断点
x(x?1)(x?1)(x?1)因为：lim??所以x?0是f(x)的无穷间断点
x?0x(x?1)(x?1)(x?1)而lim?2所以x?1是f(x)的可去间断点 x?1x(x?1)x3?42、设函数y?讨论下列问题2x(1)函数的单调增减区间及极值
(2)函数图形的凹凸及拐点(3)函数图形的渐近线
??x3?48(1) y? y?1? 仅当x?2时，y?023xx? 当???x?0 y?0 函数单调增
? 当0?x?2 y?0 函数单调减? 当x?2 y?0 函数单调增
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x?2时，y取得极小值 y(2)?3
24(2) y???4?0 函数图形在(??，0)及(0，??)都向上凹 x 无拐点y(3) lim?1 lim(y?x)?0x??xx?? 函数图形有斜渐近线y?x
limy??，函数图形有铅直渐近线 x?0x?0五、应用题（本题共9分） 设有一块边长为a的正方形铁皮,从四个角截去同样的小方块,作成一个无盖的方盒子,问小方块的边长为多少才使盒子的容积最大?设小方块的边长为x,则盒子的容积为a 223V?x(a?2x)?ax?4x?4ax, 0?x?2V??a2?12x?8axa
唯一驻点：x?6V??x?a6
?(24x?8a)x?a6??4a?0
即x?
aa为极大值点,也是最大值,所以小方块边长为时,盒子的容积最大 66 10
一单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)精编版
