专题3.2 利用导数研究函数的单调性-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版)

第三篇 导数及其应用

专题3.02利用导数研究函数的单调性

【考试要求】

1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间；

2.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；

3.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系. 【知识梳理】

1.函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则： (1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数. 2.函数的极值与导数

f′(x0)＝0 条件 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 形如山峰 极值 极值点 3.函数的最值与导数

(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小

1

形如山谷 f(x0)为极小值 x0为极小值点 f(x0)为极大值 x0为极大值点 值.

【微点提示】

1.函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.

2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.

3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.

4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( )

(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值一定大于其极小值.( )

(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件.( )

(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( )

【教材衍化】

2.(选修2－2P32A4 改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )

A.1 B.2

C.3

D.4

3.(选修2－2P32A5(4)改编)函数f(x)＝2x－xln x的极值是( ) A.1e

B.2e C.e

D.e2

2

【真题体验】

4.(2019·青岛月考)函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增

D.单调递减

5.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(

6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为( ) A.4 B.2或6 C.2

D.6

【考点聚焦】

考点一 求函数的单调区间

【例1】 已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－4

3处取得极值.

(1)确定a的值；

(2)若g(x)＝f(x)ex，求函数g(x)的单调减区间.

)

3

【规律方法】 1.求函数单调区间的步骤：

(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)在定义域内解不等式f′(x)>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f′(x)<0，得单调递减区间.

2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接. 【训练1】 (1)已知函数f(x)＝xln x，则f(x)( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在??0，1

e??上递增

D.在??0，1

e??上递减 (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间为________.

【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中参数a≤0. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)≥0，求a的取值范围.

4

【规律方法】 1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.

2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数.

x2

【训练2】 已知f(x)＝－aln x，a∈R，求f(x)的单调区间.

2

考点三 函数单调性的简单应用 角度1 比较大小或解不等式

π

0，?满足f′(x)cos x＋f(x)sin x＝1＋ln x，其中f′(x)是函数f(x)【例3－1】 (1)已知函数y＝f(x)对于任意的x∈??2?的导函数，则下列不等式成立的是( ) π??π?A.2f??3?3f?6??4?

π??π?B.2f??3?>f?4? π??π?D.3f??3?>f?6?

f（x）1

(2)已知函数f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)＝，对任意实数都有f(x)－f′(x)>0，设F(x)＝x，则不等式ee1

F(x)<2的解集为( )

eA.(－∞，1) C.(1，e)

5

B.(1，＋∞) D.(e，＋∞)