MAN
练习巩固 4：如图，已知在正方形 ABCD中，
=45°，连接 BD 与 AM ， AN 分别交于 E、 F 两点。 求证：（ 1） MN=MB+DN ；
（ 2）点 A 到 MN 的距离等于正方形的边长；
VCMN
（ 3） （ 4）
S的周长等于正方形 ABCD边长的 2 倍；
S ABCD W VCMN 2AB MN
；
（ 5）若
（ 6）若
=20°，求
；
p 45o
，求
；
MAB
MAB
0 p
AMN
AMN
（ 7） EF2
EB2 DF2 ；
（ 8） VAEN与 VAFM是等腰三角形； （ 9） SV AEF 1 。 2
S
V AMN
三、三垂直模型（一线三等角） （ K 型）
1、常见的一线三垂直的模型。
例 1：如图，正方形
ABCD中， E、F 分别为 BC、 CD上的点，且 AE⊥ BF，垂足为点 G．
求证： AE=BF．
变式训练：等腰 Rt△ ABC中， AC=AB，∠ BAC＝ 90°，点 D 是 AC 的中点， AF⊥ BD 于点 E，交 BC于点 F，连接 DF，
求证：∠ 1=∠2。
例 2：.如图，点 P 是正方形 ABCD边 AB 上一点 (不与点 A．B 重合 )，连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 顺时针方向旋转 90° 得到线段 PE， PE交边 BC于点 F．连接 BE、 DF。
求证：∠ ADP=∠ EPB； 求∠ CBE的度数；
例 3：等腰直角 △ ABC，其中 AB=AC，∠ BAC=90°，过 B、C 作经过 A 点直线 L 的垂线，垂足分别为 M 、 N．
（ 1）你能找到一对三角形的全等吗并说明．
（ 2）BM，CN，MN 之间有何关系若将直线 l 旋转到如图 2 的位置， 其他条件不变， 那么上题的结论是否依旧成立？
四、角平分线模型
O
B
N
A
P M
1、边垂直
如图， P 是∠ MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥ OM 于点 A， PB⊥ON 于点 B。
结论： PB=PA
例 1：（ 1）如图①， 在△ ABC中，∠ C=90°，AD 平CAB，BC=6，BD=4，那么点 D 到直线 AB 的距离是 分∠（ 2）如图②，∠ 1=∠2， +∠ 3=∠4。
； 求证： AP 平分∠ BAC。
A
A
B
2 1
3 4
C
C
D 图 1
B
P 图 2
例 2：如图，△ ABC的外角∠ ACD的平分线 CP 与内角∠ ABC的平分线 BP 交于点
P，若∠ BPC=40°，则∠ CAP=
。 P
A
B
C D
例 3：．如图，在四边形 ABCD中， BC>AB， AD=DC，BD 平分∠
ABC。求证：∠ BAD+∠ BCD=180°。
A
D
B
2、翻折全等（对称）
C
如图， P 是∠ MON 的平分线上一点，点 A 是射线 OM 上任意一点，在 ON 上截取 OB=OA，连接 PB。
结论：△ OPB≌△ OPA。
M A
P
O
B N
例 1：（1）如图①所示，在△ ABC 中， AD 是△ ABC的外角平分线， P 是 AD 上异于点 A 的任意一点，试比较
PB+PC
与 AB+AC的大小，并说明理由；
（ 2）如图②所示， AD 是△ ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较
PC-PB与 AC-AB的大小，并说明理由。
A
A
例 2：．已知， 在△ ABC中，∠ A=2∠ B，CD 是∠ ACB的 P
P B
C
D
B
D
C
平 分线， AC=16，AD=8。
图
1
图
2
求 线
段 BC 的长。
A
B D
C
例 3：如图所示， 在△ ABC中，∠ A=100°，∠A=40°，BD 是∠ ABC 的平分线， 延长 BD 至 E，BC=AB+CE。
A
E
D
B
C
例 4：已知，在△ ABC中， AB=AC，∠ A=108°， BD 平分∠ ABC。
求证： BC=AB+CD。
A
D
B
C
3 、角平分线 +垂线→等腰（三线合一）
如图， P 是∠ MO 的平分线上一点， AP⊥ OP于 P 点，延长 AP 于点 B。
结论：△ AOB 是等腰三角形。
M
A
P
O
B N
例 1：如图，已知等腰直角三角形 ABC中，∠ A=90°， AB=AC， BD 平分∠ ABC，
DE=AD。求证：
CE⊥BD，垂足为 E。求证： BD=2CE。
A
D E
C
B
例 2：如图，在△ ABC中， BE 是角平分线， AD⊥ BE，垂足为 D。
求证：∠ 2=∠ 1+∠ C。
A
E
1 2
D
C
B
例 3：（ 1）如图①， BD、 CE分别是△ ABC的外角平分，过点 A 作 AD⊥ BD、
AE⊥ CE，垂足分别为 D、 E，连接 DE。 求证： (1)AB+AC+BC=MN
（ 2）如图②， BD、 CE分别是△ ABC 的内角平分，其它条件不变。上述结论是否成立
那 MN 与△ ABC三边又有怎样的数量关系请写出你的猜想，并进行证明。
（ 3）如图③， BD 是△ ABC 的内角平分， CE是△ ABC 的外角平分，其它条件不变。
量关系请写出你的猜想，并进行证明。
MN 与△ ABC 三边又有怎样的数 成立请说明理由，若不成立，
4、角平分线 +平行线→等腰（底角相等）
如图， P 是∠ MO 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∥ ON，交 OM 于点 Q。
结论：△ POQ 是等腰三角形。
M
P
Q
A
O
M
N 例 1：如图，在△ ABC中，∠ ABC、∠ ACB 的平分线交 于点 E，过点 E 作 EF∥ BC，交 AB 于点 M，交 AC 于点 N。若 BM+CN=9，则线段 MN 的长为
E
N C
。
B
3． 例 2：如图，梯形 ABCD中， AD∥ BC，点 E 在 CD 上，且 AE 平分∠ BAD， BE 平分∠ ABC。求证： AD=AB-BC。
浙教版八年级三角形中几种模型.doc
