2015竞赛 抛体运动答案
1.如图所示,从高H处的同一点先后平抛两球1和2.球1直接经竖直挡板的顶端落到水平地面B点,球2与地面的A点碰撞后经竖直挡板的顶端,第二次落到水平地面B点.设球2与地面的碰撞是弹性碰撞,求竖直挡板的高度h. （答案：h?3H） 4 解:因球2与地面的碰撞是弹性碰撞,所以弹起后的运动与原来的运动对称,它的运动时间为t2=3t1,它们的水平初速v1=3v2,所以当水平位移相等时,它们的运动时间为3倍关系,两球飞抵挡板的时间是t2?=3t1?,设球2第一次着地到飞跃挡板顶端的时间为t,因小球的上升和下落的运动是对称的,所以它们的时间关系为:
2H/g?t?32(H?h)/g.得t?32(H?h)/g?2H/g
对球2下落
2H?g2(H?h)3?t,解得h?H.
4g
2.一物体以v0的初速从A点开始以恒定的加速度作曲线运动，经1s运动到B点，再经1s运动到C点。已知
AB=3m，BC=3m，AB?BC，求初速度大小v0和加速度大小a。
（答案：v0?21m/s; a?23m/s,）
解：物体与加速度垂直方向是匀速运动，在相等时间内的位移相等。作直角三角形，AC的中点P与B的连线应是加速度反方向，如图所示。
APcos300在A到B的过程，设x方向的初速为vx,则vx??1.5m/s
t设y方向的初速为vy,加速度大小为a,AC?23m
12gt 21在A到C的过程ACsin300?vy2t?g(2t)2
25223m/s，所以v0?vx解得加速度大小a?23m/s,vy??v2y?21m/s=4.58m/s。 22
在A到B的过程ABsin600?vyt?
3．一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3m的墙外，从喷口算起，墙高为4m，若不计空气阻力。取g＝10m/s2，求所需的最小初速及对应的发射仰角．
[解析]喷出的水做斜抛运动。可以取一小水柱做研究对象。只要当水柱的水平位移为3m时，水柱到达竖直方向的位移为4,写出满足条件的抛物线的方程再讨论:
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[解]设发射速度v，发射解为。到达墙上方时间为t 水柱的轨迹方程为:
?3?v?cos??t? ? 124?vsin?t??g?t??2222消去t得出方程为 9gtan??6vtan??9g?8v?0 ① 要使方程有解,其解判别式须满足?≥0 即有:
??36v4?4?9g(9g?8v2)?0 解此方程并且取v?0的解:
得v?90 将v?90代入①可得出对应??arctan3
4.如图所示,一人从离地平面高为h处以速率v0斜向上抛出一个石子,求抛射角为多少时，水平射程最远？最远射程为多少？ （答案：??sin?1v02v?2gh20;xmax?2v0v0?2ghg）
解法1：射程最大时，??45?（?<45?）
根据斜抛运动规律：x=v0cos?t----? y=-h=v0sin?t-12
gt----? 2x2(gt2/2?h)2?1, 把上述二式消去?得22?22v0tv0tg241222或x?(v0t)?(gt?h)??t?(v0?gh)t2?h-----?
2422v0?2ghb22?当t??时，x有极值，即x有极值。 2ag222把t代入?式得xmax?2v0v0?2ghg。再把t代入?式，得??sin?112
gt,两式中消去?, 2v02v?2gh20。
解法2：用x=v0cos?t,y=v0sin?t-
124x2(gt2/2?h)222gt?(gh?v0)t?(h2?x2)?0, ?1,得22?或224v0tv0t有??0求得.x的最大值x=
2v0v0?2ghg.
12
gt, 2 解法3:设发射角为?,水平方向为x=v0cos?t,竖直方向为y=v0sin?t-有运动方程消去时间得y?xtan??2v0gx222v0cos2?,当y=-h时,x=s,
gs2???. 22ssin2??hcos2??h2(stan??h)cos?2ssin?cos??2hcos?gs2gs22 / 6
gs2h2
令?=tan,则v0=,当sin(2?-?)=1,s最大,
22ss?hsin(2???)?h-1
s的最大值s=
2v0v0?2ghg.
解法4：把斜抛运动分解成v0方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动，其位移矢量图如图所示。 则由图可得x2?(v0t)2?(gt2?h)2。以下解法与解法1相同。
解法5:初速v0、末速v和增加的速度gt有如图的关系,这个矢量三角形的面积S=
1211vxgt=g(vxt),式中22121gs. 212vxt就是石子的水平射程,所以当S最大时,石子的水平射程也最大,而三角形面积又可表示为
02S=v0vsin?.因v0和v=v0?2gh的大小都是定值,所以当?=90时,S有最大值,S?v0v?2v0vv0v0?2gh因此最大射程s=vxt=. ?gg 说明：不同的解法，?有不同的表达式，根据三角函数可证明结果一样。
5.如图所示，弹性小球从高为h处自由下落，落到与水平面成?角的长斜面上，碰撞后以同样的速率反弹回来。求：
（1）每相邻两点[第一点和第二点、第二点和第三点???????第n点和第（n+1）]间的距离。
（2）当小球与斜面发生碰撞前瞬间，斜面以v的速度竖直向上作匀速直线运动，求第一点和第二点间
4sin???的距离。[答案：（1）xn\\n?1?n?8hsin?;x12(2gh?v)2]
g 解：（1）取沿斜面向下为x轴，垂直斜面方向为y轴。
小球与斜面第一次碰撞前后的速度大小v0?2gh，方向与y轴对称， 则vx1=v0sin?,ax=gsin?,vy1=v0cos?,ay=-gcos?,
2vcos?2v0第一点与第二点碰撞时间间隔t1?0。 ?gcos?g所以第一点与第二点间的距离x1224v0sin?12?v0sin?t1?gsin?t1??8hsin?。
2g第二次碰撞时刻的速度vx2=v0sin?+gsin?t1=3v0sin?,
vy2=v0cos?-gcos?t1=-v0cos?,
碰后，vy大不变，每相邻两次碰撞时间间隔不变，t?所以第二点与第三点间的距离x23?3v0sin?t1?同理，第n点与第n+1点间的距离xn\\n?12v0。 g1gsin?t12?2?8hsin?。 2?n?8hsin?。
24v0sin? (2)因x12?，当斜面向上作匀速运动时，以斜面为参照物，小于与斜面
g??碰撞时的速度v?=v0+v,所以x124sin?4sin?(v0?v)2?(2gh?v)2。 gg
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6.如图所示，两条位于同一竖直平面内的水平轨道相距为h，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A在下面的轨道上以匀速率v运动，在轨道间的绳子与过道成30°角的瞬间，绳子BO段的中点处有一与绳子相对静止的小水滴P与绳子分离，设绳子长BO远大于滑轮直径，求:(1)小水滴P脱离绳子时速度的大小和方向.(2)小水滴P离开绳子落到下面轨道所需要的时间.(第十五届全国中学生物理竞赛复赛试题)
答案:(1)vv?16gh?v13(2) 124g
7.炮弹从掩蔽所下向外射击，掩蔽所与水平面倾斜成角?（如图所示）。炮位于离掩蔽所的地基（B点）相距l的A点处。炮弹的初速度为v0，炮弹飞行的轨道位于图面上。求炮弹飞行的最远射程Lmax。
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??vv注：抛体运动另一种常用的分解方法是：分解沿0方向的速度为0的匀速直线运动和沿竖直方向的自
由落体运动二个分运动。
8.如图所示，从A点以0的初速度抛出一个小球，在离A点水平距离为s处有一堵高度为h的墙BC，
要求小球能越过B点。
问小球以怎样的角度抛出，才能使
vv0最小？
将斜抛运动看成是0方向的匀速直线运动和另一个自由落体运动的合运动，如图2-3-6所示。
在位移三角形ADB在用正弦定理
v ①
④轨迹：由直角坐标的位移公式消去时间参数t便可得到直角坐标系中的平抛运 由①式中第一个等式可得
12gtvt12?0?sinasin?sin(a??)
t?2v0sinagsin? ②
D
vot将②式代入①式中第二个等式
β B h C
2v20sinal?gsin2?sin(a??)
glsin2?22v0?sin(a??)sina
glsin2?2v0??cos(2a??)?cos?
v当?cos(2a??)有极大值1时，即2a????时，0有极小值。
因为 所以
v0A ?α l 图2-3-6
2a????，
?1a???42
2a????2??
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2015竞赛抛体运动答案
