不等式的基本性质
教学目的
掌握不等式的基本性质,会用不等式的基本性质进行不等式的变形。 教学过程
师: 我们已学过等式, 不等式, 现在我们来看两组式子 (教师出示小黑板中的两组式子) 请同学们观察,哪些是等式?哪些是不等式? 第一组: 1+2=3; a+b=b+a; S = ab; 4+x = 7.
第二组:-7 < -5; 3+4 > 1+4; 2x w 6, a+2 > 0; 3 丰 4.
生:第一组都是等式,第二组都是不等式。 师:那么,什么叫做等式?什么叫做不等式?
生:表示相等关系的式子叫做等式;表示不等式的式子叫做不等式。
师:在数学炽,我们用等号“=”来表示相等关系,用不等式号“〈”、“〉”或“工” 表示不等关系,其中“〉”和“v”表示大小关系。表示大小关系的不等式是我们中学教 学所要研究的。 前面我们学过了等式,同学们还记得等式的性质吗?
生:等式有这样的性质:等式两边都加上,或都减去,或都乘以,或都除以(除数不为零) 同一个数,所得到的仍是等式。
师:很好!当我们开始研究不等式的时候,自然会联想到,是否有与等式相类似的性质, 也就是说,如果在不等式的两边都加上,或都减去,或都乘以,或都除经(除数不为零) 同一个数,结果将会如何呢?让我们先做一些试验练习。
练习 1 (回答 )用小于号“ <”或大于号“ >”填空。 (1)7 ___ 4;
(2)- 2 ___ 6;
(3)- 3 _____ -2; (4)- 4 ____ -6
练习 2(口答)分别从练习 1 中四个不等式出发,进行下面的运算。 1)两边都加上(或都减去) 5,结果怎样?不等号的方向改变了吗? ( 2)两边都乘以(或都除以) 5,结果怎样?不等号的方向改变了吗?
( 3)两边都乘以(或都除以)( -5),结果怎样?不等号的方向改变了吗? 生:我们发现:在练习 2 中,第( 1 )、( 2)题的结果是不等号的方向不变;在第( 题中,结果是不等号的方向改变了!
师:同学们观察得很认真,大家再进一步探讨一下,在什么情况下不等号的方向就会发生 改变呢? 生甲:在原不等式的两边都乘以(或除以)一个负数的情况下,不等号的方向要改变。
师:有没有不同的意见?大家都同意他的看法吗?可能还有同学不放心,让我们再做一些 试验。 练习 3(口答)分别在下面四个不等式的两边都以乘以(可除以) 是否改变:
7 >4; -2v 6; -3v -2; -4> -6。
师:现在我们可以归纳出不等式的基本性质,一般地说,不等式的基本性质有三条:
性质 1:不等式的两边都加上(或都减去)同一个数,不等号的方向
(让同学 回答。)
性质 2:不等式的两边都乘以(或都除以)同一个正数,不等号的方向 同学回答。)
性质 3:不等式的两边都乘以(或都除以)同一个负数,不等号的方向
同学回答。)
现在请大家翻开课本,一起朗读用黑体字写的三条基本性质。
不等式的这三条基本性质,都可以用数学语言表达出来,先请一位同学说一说第一条基本 性质。 生:如果 av b。那么 a+cv b+c (或 a-cv b-c;如果 a> b,那么 a+c> b+c (或 a-c> b-c)。 师:对 a 和 b 有什么要求吗?对 c 有什么要求? 生:没有什么要求。
。(让 。(让 。
-2,看看不等号的方向
3)
师:哪位同学来回答第二、三条性质?
生甲:如果 a0,那么ac
);如果a>b,且c>0,那么ac>bc(或
);如果 a>b,且 c<0,那么 ac 生:对a、b没什么要求,特别要注意 师:很好, c 可以为零吗? c是正数还是负数。 生:c不能为零。因为 c为零时,任何不等式两边都乘以零就变成等式了。 师:好!应用刚才学到的基本性质,我们来看下面的例题。 [ 例 1]按照下列条件,写出仍能成立的不等式: (1) 5v 9,两边都加上-3; (2) 9>4,两边都减去 10; (3) -5V 3,两边都乘以4; ( 4) 14> -8,两边都除以 -2。 解( 1 )根据不等式基本性质 1 ,在不等式 59 的两边都加上 -3,不等号的方向不变,所以 5+ (-3)v 9+ (-3), 2 V 6 (2)根据不等式基本性质 9-10>4-10 1,得 -1 > -6 ( 3)根据不等式基本性质 2,得 -5X 4V 3 X 4 -20 v 12 ( 4)根据不等式基本性质 3,得 14+( -2)v( -8) + ( -2) -7V 4
初中数学:不等式的基本性质
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