学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于( ) A．(x－1)3 C．x3
【解析】 S＝[(x－1)＋1]3＝x3. 【答案】 C
?1?7
2．已知?x－x? 的展开式的第4项等于5，则x等于( )
??1
A.7 C．7
1B．－7 D．－7 B．(x－2)3 D．(x＋1)3
1?314?【解析】 T4＝C37x?－?＝5，则x＝－. 7?x?【答案】 B
3．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为( )
A．3 C．9
B．6 D．12
【解析】 x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝C23×2＝6. 【答案】 B
1?n?
3x＋?(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为( ) 4．使?
xx??A．4 C．6 【解析】
n－r??Tr＋1＝Crn(3x)
B．5 D．7
1?r55n－r
?＝Crxn－2r，当Tr＋1是常数项时，n－2rn3?xx?
＝0，当r＝2，n＝5时成立．
【答案】 B
?1?
5．(x2＋2)?x2－1?5的展开式的常数项是( )
??A．－3 C．2
B．－2 D．3
?1?
【解析】 二项式?x2－1?5展开式的通项为：Tr＋1＝
????5－r
Cr·(－1)r＝Crx2r－10·(－1)r. 5?2?5·
－24当2r－10＝－2，即r＝4时，有x2·C4(－1)4＝C45x·5×(－1)＝5；
1?x?
0
当2r－10＝0，即r＝5时，有2·C5(－1)5＝－2. 5x·
∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D. 【答案】 D 二、填空题
?1?6．(2016·安徽淮南模拟)若?x＋x?n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相??1等，则该展开式中x2的系数为________．
6【解析】 由题意知，C2n＝Cn，∴n＝8. 118－k??kk8－2k5??∴Tk＋1＝Ck·x·＝C·x，当8－2k＝－2时，k＝5，∴882的系数为C8＝x?x?56. 【答案】 56
a?6?x－?(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，7．设二项式?
x??则a的值是________．
136－rr4
【解析】 对于Tr＋1＝Cr(－ax－2)r＝Crx6－2r，B＝C6(－a)4，A＝6x6(－a)·
2C26(－a).∵B＝4A，a>0，
∴a＝2. 【答案】 2
8．9192被100除所得的余数为________．
【解析】 法一：9192＝(100－9)92＝C010092－C110091·9＋C210090·92－…92·92·92·
92＋C92929，
展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数． ∵992＝(10－1)92＝C01092－C11091＋…＋C90102－C9110＋1， 92·92·92·92·
前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.
法二：9192＝(90＋1)92＝C09092＋C19091＋…＋C90902＋C9190＋C9292·92·92·92·92. 前91项均能被100整除，剩下两项和为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.
【答案】 81 三、解答题
23nn*9．化简：S＝1－2C1n＋4Cn－8Cn＋…＋(－2)Cn(n∈N)．
12233【解】 将S的表达式改写为：S＝C0n＋(－2)Cn＋(－2)Cn＋(－2)Cn＋…＋(－n2)nCn＝[1＋(－2)]n＝(－1)n.
?1，n为偶数时，∴S＝(－1)＝? ?－1，n为奇数时.n 1??10．(2016·淄博高二检测)在?2x－?6的展开式中，求：
x??(1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x2的项． 2
【解】 (1)第3项的二项式系数为C6＝15，
又
T3＝C26(2x)?
?
4?－
1?242?＝2·C6x， x?
所以第3项的系数为24C26＝240.
1?k
6－k?－3－k
??＝(－1)k26－kCk(2)Tk＋1＝Ck(2x)，令3－k＝2，得k＝1. 66xx??所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
[能力提升]
22nn
1．(2016·吉林长春期末)若C1nx＋Cnx＋…＋Cnx能被7整除，则x，n的值可
能为( )
A．x＝4，n＝3 C．x＝5，n＝4
B．x＝4，n＝4 D．x＝6，n＝5
22nnn【解析】 C1nx＋Cnx＋…＋Cnx＝(1＋x)－1，分别将选项A、B、C、D代入
检验知，仅C适合．
【答案】 C
1??x＋?n的展开式中第4项为常数项，23
2．已知二项式?则1＋(1－x)＋(1－x)3??
x??＋…＋(1－x)n中x2项的系数为( )
A．－19
B．19 C．20 D．－20
1???1?x＋?n－??rnr?rrn5r【解析】 ?3?的通项公式为Tr＋1＝Cn(x)·?3?＝Cnx2－6，由题
x???x?n5×3222
意知2－6＝0，得n＝5，则所求式子中的x2项的系数为C22＋C3＋C4＋C5＝1＋3＋6＋10＝20.故选C.
【答案】 C
?1?3．对于二项式?x＋x3?n(n∈N*)，有以下四种判断： ??①存在n∈N*，展开式中有常数项；②对任意n∈N*，展开式中没有常数项；③对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N*，展开式中有x的一次项．其中正确的是________． ?1?4r－n
【解析】 二项式?x＋x3?n的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr，由通项公式nx??可知，当n＝4r(r∈N*)和n＝4r－1(r∈N*)时，展开式中分别存在常数项和一次项．
【答案】 ①与④
?x1?
4．求?2＋x＋2?5的展开式的常数项. 【导学号：97270023】
??
x1??x1???x1??0??2＋x?5＋【解】 法一：由二项式定理得?2＋x＋2?5＝??2＋x?＋2?5＝C5·?????????
?C15·x1?4x1?3x1?2x1?2?23?34?455＋＋＋＋???????·2＋C·(2)＋C·(2)＋C·(2)＋C(2). 5·5·5·5·?2x??2x??2x??2x?其中为常数项的有：
1?x1?412??2
＋????·2； C1·2中的第3项：CC·554?2x??2?
?x1?2311355?2＋x?·C3(2)3中的第2项：C5C2··(2)；展开式的最后一项C(2). 5·5·2??
综上可知，常数项为
2??C15C4·1?2632311355
?·2＋C5C2·(2)＋C5·(2)＝2. 2·?2?
?x2＋22x＋2?5
? 法二：原式＝?
2x??
11
＝32x5·[(x＋2)2]5＝32x5·(x＋2)10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x＋
55
C·?2?10
2)10的展开式中含x5的项的系数，即C52)5，所以所求的常数项为＝10·(632
2
.
32
高中数学人教A版选修2-3 第一章 计数原理 1.3-1.3.1学业分层测评 Word版含答案
