【答案】 C
角度二 已知线性目标函数的最值(范围)求参数值(范围)
x－3≤0??
(2020·嘉兴市高考模拟)已知实数x，y满足?y－1≥0，若ax＋y的最大值为
??x－y＋1≥0
10，则实数a＝( )
A．4 C．2
B．3 D．1
【解析】 画出满足条件的平面区域，如图所示(阴影部分)：
??x＝3
由?， ?x－y＋1＝0?
解得A(3，4)，
令z＝ax＋y，因为z的最大值为10，
所以直线在y轴上的截距的最大值为10，即直线过(0，10)， 所以z＝ax＋y与可行域有交点， 当a＞0时，
直线经过A时z取得最大值．即ax＋y＝10，将A(3，4)代入得，
3a＋4＝10，解得a＝2，当a≤0时，直线经过A时z取得最大值，即ax＋y＝10，将
A(3，4)代入得，3a＋4＝10，解得a＝2，与a≤0矛盾，综上a＝2.
【答案】 C
角度三 求非线性目标函数的最值(范围)
x＋y－3≥0，??
若平面区域?2x－y－3≤0，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直
??x－2y＋3≥0
线间的距离的最小值是( )
A.C.35
532
2
B.2 D.5
x＋y－3≥0??
【解析】 不等式组?2x－y－3≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(1，2)、
??x－2y＋3≥0B(2，1)，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A与B，又两平行直线的
斜率为1，直线AB的斜率为－1，所以线段AB的长度就是过A、B两点的平行直线间的距离，易得|AB|＝2，即两条平行直线间的距离的最小值是2，故选B.
【答案】 B
(1)利用线性规划求目标函数最值的步骤 ①画出约束条件对应的可行域；
②将目标函数视为动直线，并将其平移经过可行域，找到最优解对应的点； ③将最优解代入目标函数，求出最大值或最小值． 常见的目标函数有：
(ⅰ)截距型：形如z＝ax＋by；(ⅱ)距离型：形如z＝（x－a）＋（y－b）；(ⅲ)斜率型：形如z＝
2
2
y－b. x－a(2)含参数的线性规划问题
参数的位置可能在目标函数中，也可能在约束条件中，求解步骤为：①注意对参数取值的讨论、将各种情况下的可行域画出来；②在符合题意的可行域里，寻求最优解．
[提醒] 求目标函数的最值时，易弄错目标函数的几何意义而求错．如x＋y是距离的平方，易忽视平方而求错．
??xy≥0
1．(2020·温州七校联考)实数x，y满足?，使z＝ax＋y取得最大值的最优
?|x＋y|≤1?
2
2
解有2个，则z1＝ax＋y＋1的最小值为( )
A．0 C．1
B．－2 D．－1
解析：选A.画出不等式组所表示的可行域如图中阴影所示，因为z＝ax＋y取得最大值的最优解有2个，所以－a＝1，a＝－1，所以当x＝1，y＝0或x＝0，y＝－1时，z＝ax＋y＝－x＋y有最小值－1，所以ax＋y＋1的最小值是0，故选A.
y－x＋1≥0??
2．(2020·温州市高考模拟)若实数x，y满足?x＋y－2≤0，则y的最大值为________，
??x，y≥0y＋1
的取值范围是________． x＋2
y－x＋1≥0??
解析：作出不等式组?x＋y－2≤0，对应的平面区域如图(阴影部分)：
??x，y≥0
可知A的纵坐标取得最大值2. 设z＝
y＋1
，则z的几何意义为区域内的点到定点D(－2，－1)的斜率，由图象知BDx＋2
2＋130＋1113
的斜率最小，AD的斜率最大，则z的最大为＝，最小为＝，即≤z≤，
0＋221＋2332
则z＝
y＋1?13?的取值范围是?，?.
x＋2?32?
?13?答案：2 ?，?
?32?
y≤x＋1??
3．(2020·绍兴一中高三期中)设x，y满足约束条件?y≥2x－1，若目标函数z＝abx??x≥0，y≥0
＋y(a＞0，b＞0)的最大值为35，则a＋b的最小值为________．
解析：满足约束条件
y≤x＋1??1??y≥2x－1的区域是一个四边形，如图所示四个顶点分别是(0，0)，(0，1)，??2，0?，
????x≥0，y≥0
(2，3)，由图易得目标函数在(2，3)取最大值35，即35＝2ab＋3，所以ab＝16，
所以a＋b≥2ab＝8，当a＝b＝4时等号成立， 所以a＋b的最小值为8. 答案：8
线性规划的实际应用
某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需
要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．
【解析】 由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z＝2 100x＋900y，线
??x＋0.3y≤90，
性约束条件为?5x＋3y≤600，
x≥0，??y≥0，
1.5x＋0.5y≤150，
作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
又由x∈N，y∈N，可知取得最大值时的最优解为(60，100)， 所以zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 【答案】 216 000
利用线性规划解决实际问题的步骤
(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，主要变量有哪些．由于线性规划应用题中的量较多，为了了解题目中量与量之间的关系，可以借助表
格或图形；
(2)设元：设问题中起关键作用的(或关联较多的)量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数；
(3)作图：准确作图，平移找点(最优解)； (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)； (5)检验：根据结果，检验反馈．
某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车
辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )
A．31 200元 C．36 800元
B．36 000元 D．38 400元
解析：选C.设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z，则约束条件为
x＋y≤21，
??y－x≤7，
?36x＋60y≥900， ??x，y∈N.
目标函数为z＝1 600x＋2 400y.画出可行域(图中所示阴影中的整点部分)，可知目标函数过点N(5，12)时，有最小值zmin＝36 800(元)．
[基础题组练]
2x＋3y≤12，??
1．二元一次不等式组?2x＋3y≥－6，所表示的平面区域的面积为( )
??0≤x≤6A．18 C．36
B．24 D．1213
解析：选C.不等式组所表示的平面区域如图阴影部分，
(浙江专用)2021版新高考数学一轮复习第七章不等式3第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题教学案
