[课时作业] [A组 基础巩固]
?1?
1．若平面α，β的法向量分别为a＝?2，－1，－3?，b＝(－1,2,6)，则( )
??A．α∥β C．α⊥β
1
解析：∵a＝－2b，∴a∥b，∴α∥β. 答案：A
2．下列各组向量中不平行的是( ) A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4) B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0) C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0) D．g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40)
解析：A项中，b＝－2a?a∥b；B项中，d＝－3c?d∥c；C项中，零向量与任何向量都平行．只有D中两向量不平行． 答案：D
3．已知直线l与平面 α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于( ) A．3 B．6 C．－9 D．9 解析：∵l⊥α，v与平面α平行，所以u⊥v，即u·v＝0， ∴1×3＋3×2＋z×1＝0， ∴z＝－9，故选C. 答案：C
4．若u＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( ) A．(0，－3,1) C．(－2，－3,1)
B．(2,0,1) D．(－2,3，－1) B．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合
解析：同一个平面的法向量平行，故选D.
1
答案：D
5．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N2a
分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝3，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( ) A．相交 C．垂直
B．平行 D．不能确定
解析：建立如图所示的空间直角坐标系如图， 2a∵A1M＝AN＝3，
2aa2a2a
∴M(a，3，3)，N(3，3，a)，
a2a→
∴MN＝(－3，0，3)，∴MN∥平面BB1C1C. 答案：B
6．已知直线l的方向向量为v＝(1，－1,2)，平面α的法向量为n＝(2,4,1)，且l?α，则l与α的位置关系是________．
解析：因为v·n＝2－4＋2＝0，所以v⊥n，又l?α ，所以l∥α. 答案：l∥α
→→→
7．若AB＝λCD＋μCE(λ，μ∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是_______． →→→
解析：∵AB＝λCD＋μCE(λ，μ∈R)， →→→
∴AB与CD，CE共面．
∴AB∥平面CDE或AB?平面CDE. 答案： AB∥平面CDE或AB?平面CDE
8．已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是________． 解析：∵l∥平面ABC，
→→→→
∴存在实数x，y，使a＝x AB＋yAC，AB＝(1,0，－1)，AC＝(0,1，－1)，
2
∴(2，m,1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1) ＝(x，y，－x－y)， 2＝x，??
∴?m＝y，??1＝－x－y，答案：－3
9.如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAB，△OAC， △ODE，△ODF都是正三角形．求证：直线BC∥EF. 解析：过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，连接QE，由平面
→→ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q为坐标原点，QE为x轴正向，QD→
为y轴正向，QF为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系． 由条件知
E(3，0,0)，F(0,0，3)， ?3?3?33?B?，－，0?，C?0，－，?.
2?22??2?→?33?
则有BC＝?－，0，?，
2??2→
EF＝(－3，0，3)． →→
所以EF＝2BC，即得BC∥EF.
[B组 能力提升]
→→
1．直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量OA，OB，下列关系中能表示l∥α的是( ) →
A．a＝OA →→
C．a＝pOA＋λOB
∴m＝－3.
→
B．a＝kOB D．以上均不能
3
解析：A，B，C均能表示l∥α或l?α. 答案：D
19?5?5????
2．若A?0，2，8?，B?1，－1，8?，C?－2，1，8?是平面α内的三点，设平面α
??????的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝( ) A．2∶3∶4 C．(－2)∶3∶(－4) 7?→?
解析：AB＝?1，－3，－4?，
??
→
?a·AB＝0，7?→?
AC＝?－2，－1，－4?，由???→
a·AC?＝0.7
x－3y－??4z＝0，得?7
－2x－y－??4z＝0.
B．2∶3∶(－4) D．(－2)∶(－3)∶4
解得?4
z＝－??3y.
2x＝??3y，
2?4?
则x∶y∶z＝y∶y∶?－3y?＝2∶3∶(－4)．
3??答案：B
3．设直线l1的方向向量为a＝(1，－2,2)，l2的方向向量为b＝(2,3,2)，则l1与l2的关系是________．
解析：∵a·b＝1×2－2×3＋2×2＝0， ∴a⊥b，∴l1⊥l2. 答案：垂直
4．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为______． 解析：建立以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，
设|AB|＝a，点P坐标为(0,0，b)
4
a
则B1(a,0,1)，D(0,1,0)，E(2，1,0) →→a
AB1＝(a,0,1)，AE＝(2，1,0)
→
DP＝(0，－1，b)，∵DP∥平面B1AE， →→→
∴存在实数λ，μ，设DP＝λAB1＋μAE a
即(0，－1，b)＝λ(a,0,1)＋μ(2，1,0) μa
＝(λa＋2，μ，λ)
??∴?μ＝－1??λ＝b
1答案：2
μλa＋2a＝0
11
∴b＝λ＝2，即|AP|＝2.
5.如图，在长方体OAEB-O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4， OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上， 且SB1＝2BS，点Q，R分别是O1B1，AE的中点，求证：PQ∥RS. 证明：如图所示，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，则A(3，0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3，0,2)，B1(0,4,2)，E(3,4,0)， ∵AP＝2PA1， →→2→∴AP＝2PA1＝3AA1， 4→2
即AP＝3(0,0,2)＝(0,0，3)， 4??
∴P点坐标为?3，0，3?.
??
2??
同理可得Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S?0，4，3?.
??
5
高中数学人教A版选修2-1优化练习：第三章 3.2 第1课时 空间向量与平行关系 Word版含解析
