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高三数学一轮基础巩固第3章第4节定积分与微积分基本定理理含解析新人教B版

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【走向高考】2016届 高三数学一轮基础巩固 第3章 第4节 定积分

与微积分基本定理(理) 新人教B版

一、选择题

1.(2015·烟台市期中)若a=A.ab

C.a=b D.a+b=0 [答案] A

π2

[解析] 解法一:如图知,y=sinx与y=cosx的交点为(4,2), 由对称性及定积分的几何意义知a

sinxdx=(-cosx)

=cos1,b=?1cosxdx=sinx|10=sin1,

?0sinxdx,b=?1cosxdx,则a与b的关系是( )

?0

π

∵1>4,∴cos1

[解析] (1-cosx)dx=(x-sinx) ππππ

=(2-sin2)-[-2-sin(-2)]=π-2.

(1-cosx)dx=( )

1

3.(2015·北京朝阳区期中)曲线y=x与直线x=1,x=e2及x轴所围成的图形的面积是( ) A.e2 B.e2-1 C.e D.2 [答案] D [解析] 所求面积

4.(2014·河南南阳第一中学月考)设函数f(x)=ax2+b(a≠0),若?3f(x)dx=3f(x0),则x0=( )

?0A.±1 B.2 C.±3 D.2 [答案] C

1

[解析] 因为?3f(x)dx=?3(ax2+b)dx=(3ax3+bx)|30=9a+3b,3f(x0)=3ax20+3b,所以9a+3b

?0?0=3ax20+3b,所以x20=3,x0=±3,故选C.

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5.(2014·广东深圳调研)如图所示,在矩形OABC内:记抛物线y=x2+1与直线y=x+1围成的区域为M(图中阴影部分).随机往矩形OABC内投一点P,则点P落在区域M内的概率是( ) 11A.18 B.12 11C.6 D.3 [答案] B

1

[解析] 根据定积分知识可得阴影部分面积S=?1[(x+1)-(x2+1)]dx=6,点落在区域内的概

?0161

率为面积型几何概型,所以由几何概型的概率计算公式得P=2=12,故选B. x+1-1≤x≤0??

6.(2014·广东中山实验高中段考)已知函数f(x)=?π

cosx0

A.2 B.1 C.2

1D.2

π

,则∫2-1f(x)dx=( )

[答案] A

7.?24-x2dx=( ) ?0A.4π C.π

B.2π πD.2 [答案] C

[解析] 令y=4-x2,则x2+y2=4(y≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, 1

∴S=4×π×22=π.

1

8.已知等差数列{an}的前n项和Sn=2n2+n,函数f(x)=?xtdt,若f(x)

?1是( ) A.?

?3?

? B.(0,e21) ,+∞

?6?

D.(0,e11)

C.(e-11,e) [答案] D

1

[解析] f(x)=?xtdt=lnt|x1=lnx,a3=S3-S2=21-10=11,由lnx<11得,0

?1二、填空题

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9.(2014·河北名校名师俱乐部模拟)已知在函数f(x)=ex2+aex图象上点(1,f(1))处切线的斜率为e,则?1f(x)dx=________.

?02

[答案] 1-3e

1

[解析] f′(x)|x=1=(2ex+aex)|x=1=2e+ae=e?a=-1,则?1(ex2-ex)dx=(3ex3-ex)|10

?02=1-3e. 10.(2014·山西大学附中月考)如图,圆O:x2+y2=π2内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分),随机往圆O内投一个点A,则点A落在区域M内的概率为________. 4

[答案] π3

[解析] 圆的面积S=π3,区域M的面积S′=2?πsinxdx=2(-cosx) |0π=2(-cosπ+cos0)=4,

?04

故所求概率P=π3. 一、选择题 11.(2014·河源龙川一中月考)如图所示,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x2和曲线y=x围成一个叶形图(阴影部分),向正方形AOBC内随机投一点,则所投的点落在叶形图内部的概率是( ) 11

A.2 B.6 11C.4 D.3 [答案] D

[解析] 依题意知,题中的正方形区域的面积为12=1,阴影区域的面积等于?1(x-x2)dx=

?0322111(3x -3x3)|10=3,因此所投的点落在叶形图内部的概率等于3,选D.

112.(2014·抚顺六校联合体期中)设(x+x2)3的展开式中的常数项为a,则直线y=ax与直线y=x2围成图形的面积为( ) 27

A.2 B.9 927C.2 D.4 [答案] C

111

[解析] (x+x2)3,即(x2+x)3的通项Tr+1=Cr3(x2)3-r(x)r=Cr3x6-3r,令6-3r=0,得r=2,∴常数项为3.

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