文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑,有帮助欢迎下载支持.
云飞专升本精讲班第二次摸底 《高等数学》答案及详解
一、单项选择题（每题2分，共计60分）
1. 【答案】C. 解：0?2x?1?1,所以2. 【答案】C.
解: lim?tanx???，lim?tanx???，A不对.
x?xf(x)f(x)f?(x)f?(0)，应选D. ?lim?lim?x?03x2x?03xx?0338. 【答案】B. ?lim解: (xn)(n)?n!，(ex)(n)?ex，f(n)(x)?n!?ex，应选B.
9. 【答案】C.
解:在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]内利用由罗尔定理可得结论，三个实根，应选C.
10. 【答案】C.
解: f(x)?(x?1)ex,f?(x)?(x?2)ex?0,f??(x)?(x?3)ex?0,应选C. 11. 【答案】B.
xx解:lim??1,y??1为水平渐近线，lim??,x?3为垂直渐近
x???3?xx?33?x线，应选B.
12. 【答案】A.
解: f?(x)?(x?1)(x?1),f??(x)?2x，在(1,??)内，f?(x),f??(x)均大于
0，应选A.
13. 【答案】C.
解:y??3ax2?2bx,y???6ax?2b,x?1满足y???0的方程，（1，3）满足
y?ax3?bx2，联立两方程解得。应选C.
1?x?1.应选C. 2?2x??22x(x?1)，D不对。而lim?1，应选C. limln(1?x)???x??x2?2x?1?3. 【答案】A.
x???x???limarctanx???2, limarctanx??, B不对。
解: 因1?cos1?11111??2sin2~?2,从而limx2?1?cos??，应选A.
x??x?2x2x2x?4. 【答案】C.
ex?ax2?x?1ex?2ax?1ex?2a1?2a?lim?lim??0,应选C. 解: lim2x?0x?0x?0x2x225. 【答案】B.
解:f(x)在x?0处无定义,且limf(x)?limx?0sinx?1，为可去间断点，应选
x?0x 14. 【答案】A.
u?x?tdx1dx1d0222222f(x?t)d(x?t)??f(u)du 解:?tf(x?t)dt??dx02dx?02dx?x222B.
6. 【答案】A.
f(x?h)?f(x?2h)?3f?(x)?3cosx,应选A. 解: limh?0h7. 【答案】D.
应选A.
15. 【答案】C. 解: ?f?(1?2x)dx?11?f(1?2x)d(1?2x)?f(1?2x)?C,应选C. 2?2解: ??(0)?limx?0?(x)??(0)x?0??limx?0x0tf(t)dtx2x??limx?0x0tf(t)dtx3
16. 【答案】D.
解:由定积分的几何意义可得结论,应选D.
17. 【答案】D.
u?2t12xx1x解：?f?(2t)dt??f?(2t)d(2t)??f?(u)d(u)
a2a22a1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑,有帮助欢迎下载支持.
应选D.
18. 【答案】D. 解:?cosxdx?sinx1????1?limsinx?sin1, limsinx不存在，应选D.
x???x????x?1解: 在(0,0)到点(1,0)段上积分为0, 在(1,0)到点(1,1)段上?,y从
?y?y0变到1,有?xdy?(x?y)ydx??dy?1?A.
L022119. 【答案】C. 解:?f(x)dx????aau??x?aaf(?u)du????aaf(?x)dx??f(?x)dx,应选C.
?aa20. 【答案】C. 解:?f(t)dt?0x1f?(x)df(x),求导得f(x)??2??dx，两，分离变量得3f(x)f(x)f(x)28．【答案】D.
解:比较判别法只适用于正项级数判别,应选D. 29．【答案】C.
解: 对A,C进行验证知,应选C. 30．【答案】D.
解:??1为特征方程r2?2r?1?0的二重特征根，应设特解为
边积分
112?2x?C,故.应选C. f(x)?2f(x)2x?C22y??x2(Ax?B)ex，应选D.
21. 【答案】D.
解:a?b?a?2a?b?b?1?2?1?2?cos2?4二、填空题（每题2分，共30分）
?2?5，应选D.
31.
解: limn(n?1?n?2)?limn??22. 【答案】A.
解:注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别,应选A. 23. 【答案】B.
解:驻点为（0，0）和（1，1）,考察B2?AC的符号，应选B. 24. 【答案】C. 解:
?z11y???2.应选C. 2x?x1?()2yx?yy3nn?1?n?2n???3. 2 32.
sinx?e2ax?1?1?2a?a?f(0).所以，a??1. 解: limf(x)?limx?0x?0x33.
解: 交点坐标为和，切线斜率为y?x??1?(1?（-1，0）（1，0）1)?2，所x2x??125. 【答案】A.
解:积分区域关于y轴对称，被积函数关于x为奇函数,应选A. 26. 【答案】B.
解: 画出积分区域图可知:D?{(x,y)|0?x?2,x?y?2x}?
y2{(x,y)|0?y?2,?x?y},应选B.
211以法线斜率为?，代入点斜式方程y?0??(x?1)，即x?2y?1?0。
2234.
解:y?2x2?ax?3,y??4x?a?0，所以a??4. 35.
27．【答案】A.
1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑,有帮助欢迎下载支持.
dy1dydttd2yddyt解:.????()?dxdx1?11?t2dx2dxdxdtt236.
dt221?t1?t2222dt?(1?t)?t(1?t)。
23dx1(1?t)1?2dtt?22?22(x?y)dxdy?d?r?????rdr?4?。 D20244.
ex(x?1)?exxex??0,所以单调增区间为解: y??。 （0，+?）22(x?1)(x?1)aaun?1an?1(n?1)!nn解:由比值判别法，lim，所以?lim?lim?nnn??un??(n?1)n?1n??an!e?1?n1????n?当a?e时发散。
n?enn!uenen!但当a?e，级数化为?n或?(?1)n。有n?1??1，即一nnunn?1nn?1?1??1???n??37.
dd1f(x)解:?f(x)d(arctanx)??f(x). dx?dxdx1?x21?x238.
1?tanxcosx?sinx1解: ?dx??dx??d(cosx?sinx)
1?tanxcosx?sinxcosx?sinx般项un越来越大，不趋向零，从而是发散的，故应填a?e. 45.
解: eydy?(sinx?cosx)dx?0?dey?d(sinx?cosx)dx?0?
d[ey?sinx?cosx]?0?ey?sinx?cosx?C.
?lncosx?sinx?C.
39． 解:f(?x)?ln40.
解:a?b?i?5j?3k,S?a?b?12?(?5)2?(?3)2?35. 41．
解:设F(x,y,z)?ez?z?xy?3，则曲面在点（2，1，0）处切平面的法向量为?Fx?,Fy?,Fz??42． 解: z?43．
1xdx?ydyln(x2?y2)?dz?2. 22(x?y)(2,1,0)1?x??f(x).所以原式?0。 1?x三、计算题（每小题5分，共40分）
46.
x12x??arctantdtx?arctanxx?arctanx02?lim?lim解: lim 3x2x?0x?02xsinx2x?02x?sintdt0??y,x,ez?1?(2,1,0)??1,2,0?，切平面方程为x?2y?4?0.
1??limx?01111?x2?lim?. 22x?06x6(1?x)647. 解: y?x31?sinx1，lny?3lnx??ln(1?sinx)?ln(1?cosx)?
1?cosx2????解:D??(r,?)0?r?2,?????，所以
22??1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑,有帮助欢迎下载支持.
131?cosxsinx??两边关于x求导得，y?????
yx2?1?sinx1?cosx??1??xn因为
1?xn?0x?(?1,1)，所以
1t1?8??1ntnn?08?t?(?8,8)
?31?cosxsinx??31?sinx 即y?????. ????xx21?sinx1?cosx1?cosx????48.
解: 设x?tant，则dx?sec2tdt 原式??49.
解: ?f(x?1)dx??f(x?1)d(x?1)?0022u?x?11?1n?111??n?1t??n?1(x?2)n故f(x)?81?tn?08n?088t?(?10,6)。
53．
解: 方程可化为y??2xy?2xe?x，这是一阶线性非齐次微分方程，它对应齐次微分方程为y??2xy?0，其通解为y?Ce?x.
221sectcost12sectdt?dt?dt??tan2t?sin2t?sin2tdsint tan2tsect??1f(u)du
.
设非齐次微分方程的解为y?C(x)e?x，则 代入方程得：C?(x)e?x?2xe?x，即C?(x)?2x，
所以C(x)?x2?C.
故原方程的通解为y?e?x(x2?C).
2222
u??u?ln(1?e)???0?1?2(2?1)?ln(1?e)?ln2?2(2?1) 50.
解: 令2x?y2?u,ysinx?v,则z?f(u,v), 所以
?z?z?fv?sinx?2yfu?. ?2fu??fv?ycosx, ?y?x四、应用题（每题7分，共计14分）
54.
解：设每件服装的零售价为x元，获得的利润为y元，由题意可得
y?[100?(60?x)?10]?(x?40)，40?x?60，
51.
解：积分区域如图所示： 看作X型区域，有
所以
??(x?yD2)d???dx?0?sinx0(x?y)dy
2即 y??10x2?1100x?28000，40?x?60；
而y???20x?1100，令y??0得唯一驻点x?55，此时有y????20?0，故
??11?=?(xsinx?sin3x)dx??xsinxdx??sin3xd 0033052．
1111解：令x?2?t，则f(x)?， ??6?x8?t81?t8x?55是极大值点，即为最大值点.
故 每件服装零售价55元，每天从工厂应批发100?(60?55)?10?150件，可获得最大利润，最大利润是150?(55?40)?2250元.
55．
2 1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
1 文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑,有帮助欢迎下载支持.
解:平面图形D如图所示: 两条曲线的交点为和， （-1，1）（1，1）图形关于y轴对称。
把D看作X型区域,且x?[0,1]. (1) 平面图形D的面积为
228S?2?(2?x?x)dx?2(2x?x3)?2(2?)?。
033301221（2）平面图形D绕y轴旋转一周所生成旋转体的体积为
V????ydy???01?101212??1122?(2?y)dy???y?(2y?y)???. ??2?20?1??1或V?2??x(2?x2?x2)dx?2??(2x?2x3)dx
01 ?2?(x2?x4)??。
201五、证明题（6分）
56．
?11?,?上函数满足拉格朗日定理证明:构造函数f(x)?ax,显然在区间?n?1n??的条件，即
即有
a?alna1n?11n1n?1?a?1n111???， ,其中
n?1nn(n?1)1n?1所以
aa?a?(n?1)2lna?an21n(a?1,n?1)成立。
1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
云飞专升本精讲班第二次摸底考试答案
