邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。专题3.4 利用导数研究函数的极值，最值
【考纲解读】
考 点 考纲内容 5年统计 分析预测 2013?浙江文科21，理科8，22； 1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，2014?浙江文科21，理科22； 与不等式、函数与方程、函数的2017?浙江卷20.. 图象相结合； 2.单独考查利用导数研究函数的了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数导数在研究函数中的应用 小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题. 的极大值、极 某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现； 3.适度关注生活中的优化问题. 3.备考重点： (1) 熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础； (2) 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题. 【知识清单】
1．函数的极值 (1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′ (x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 对点练习：
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。【2017课标II，理11】若x??2是函数f(x)?(x?ax?1)e小值为（ ）
2x?1的极值点，则f(x)的极
A.?1 B.?2e?3 C.5e?3 D.1 【答案】A 【解析】
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 对点练习：
【2017北京，理19】已知函数f(x)?ecosx?x． （Ⅰ）求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)y?1；（Ⅱ）最大值1；最小值?【解析】
xπ2?. 2邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。所以函数f(x)在区间[0,]上单调递减.
因此f(x)在区间[0,]上的最大值为f(0)?1，最小值为f()??【考点深度剖析】
导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等．从题型看，往往有一道选择题或填空题，有一道解答题.其中解答题难度较大，常与不等式的证明、方程等结合考查，且有综合化更强的趋势．
【重点难点突破】
考点1 应用导数研究函数的极（最）值问题
【1-1】【2017河北武邑三调】已知函数f?x???2?a?lnx?（1）当a?2时，求函数f?x?的极值； （2）当a?0时，求函数f?x?的单调增区间. 【答案】（1）极小值为f?π2π2π2π. 21?2ax. x?1?无极大值；（2）当a??2时，增区间?0,???，当?2?a?0??4，
?2?时，增区间?【解析】
?11??11?,??，当a??2时，增区间??,?. ?2a??a2?试题分析：（1）函数f?x?的定义域为?0,???，令 f'?x???1?4?0，得2x邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。11x1?;x2??(舍去). 然后列表可求得：函数f?x?的极小值为
22（2）令f'?x??0，得x1??1?f???4，无极大值；?2?11,x2??,然后利用分类讨论思想对a分三种情况进行讨论. 2a1试题解析：（1） 函数f?x?的定义域为?0,???,f'?x???2?4，令
x111f'?x???2?4?0，得x1?;x2??(舍去). 当x变化时，f'?x?,f?x?的取值情况
x22如下:
x ?1??0,? ?2?1 2?1?,???? 2??? 增 f'?x? ? 减 0 极小值 f?x? 所以，函数f?x?的极小值为f??1???4，无极大值. ?2?【1-2】【2016新课标2理数】(Ⅰ)讨论函数f(x)?xx?2xe的单调性，并证明当x?0时，x?2ex?ax?a(x?2)e?x?2?0； (Ⅱ)证明：当a?[0,1)时，函数（gx）=(x?0)有最小
x2值.设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域．
1e2【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）(,]..
24【解析】
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：“童子何泣？”原曰：“孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。”师恻然曰：“欲书可耳!”原曰：“无钱资。”师曰：“童子苟有志吾徒相教不求资也。”于是遂就书。一冬之间，诵《孝经》《论语》。试题解析：（Ⅰ）f(x)的定义域为(??,?2)?(?2,??).
(x?1)(x?2)ex?(x?2)exx2exf'(x)???0,
(x?2)2(x?2)2且仅当x?0时，f'(x)?0，所以f(x)在(??,?2),(?2,??)单调递增， 因此当x?(0,??)时，f(x)?f(0)??1, 所以(x?2)e??(x?2),(x?2)e?x?2?0
xx(x?2)ex?a(x?2)x?2?2(f(x)?a), （II）g(x)?x2x由（I）知，f(x)?a单调递增，对任意a?[0,1),f(0)?a?a?1?0,f(2)?a?a?0, 因此，存在唯一x0?(0,2],使得f(x0)?a?0,即g'(x0)?0， 当0?x?x0时，f(x)?a?0,g'(x)?0,g(x)单调递减； 当x?x0时，f(x)?a?0,g'(x)?0,g(x)单调递增. 因此g(x)在x?x0处取得最小值，最小值为
ex0?a(x0?1)ex0+f(x0)(x0?1)ex0g(x0)???. 22x0x0x0?2ex0ex(x?1)exex)'??0,于是h(a)?，由(单调递增 x?2(x?2)2x?2x0?2
2018年高考数学一轮复习专题3.4利用导数研究函数的极值最值讲
