专题八 二次函数与几何图形的综合
毕节中考备考攻略
二次函数与几何的综合问题一般作为压轴题呈现,具有知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、综合性强、解题方法灵活等鲜明特点,同时题型变化多样,如求线段的长、求图形的面积、特殊三角形的存在性、特殊四边形的存在性、相似三角形的存在性等等.
1.二次函数与线段的长
(1)一般设抛物线上点的横坐标为x,纵坐标为抛物线解析式,与之相关的点的横坐标也为x,纵坐标为直线解析式,两点纵坐标之差的绝对值即为线段的长度；
(2)建立关于线段长的二次函数,通过求二次函数的最值进而求线段长的最值； (3)线段长之和最小的问题,转化为对称点后用两点之间线段最短解决. 2.二次函数与图形的面积
(1)根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积；
(2)通过观察、分析、概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型,并掌握二次函数中面积问题的相关计算,从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用；
(3)利用二次函数的解析式求出相关点的坐标,从而得出相关线段长,利用割补方法求图形的面积. 3.二次函数与特殊三角形
(1)判断等腰三角形,可以对顶点进行分类讨论； (2)判断直角三角形,可以对直角顶点进行分类讨论. 4.二次函数与特殊四边形
此类题型结合特殊四边形的判定方法,对对应边进行分类讨论,求平行四边形存在类问题用平移法解坐标较简单,其他特殊的平行四边形结合判断方法用边相等、角为直角或对角线的交点坐标突破.
5.二次函数与相似三角形
结合相似三角形判定方法,如果一个角为直角,只需两直角边之比分别相等,此时要对对应边分类讨论.
中考重难点突破
二次函数与线段的长
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例1 (2024·遂宁中考改编)如图,已知抛物线y＝ax＋x＋4的对称轴是直线x＝3,且与x轴相交于A,B两
2点(B点在A点右侧),与y轴交于C点.
(1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标；
(2)若M是抛物线上任意一点,过点M作y轴的平行线,交直线BC于点N,当MN＝3时,求点M的坐标. 【解析】(1)由抛物线的对称轴x＝3,利用二次函数的性质即可得到a的值,进而可得出抛物线的解析式,再利用抛物线与x轴交点的纵坐标为0可求出点A,B的坐标；
(2)根据二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标.由点B,C的坐标,利用待定系数法可得直线BC的解
析式.设点M的横坐标为m,可表示点M的纵坐标.又由MN∥y轴,可表示出点N的横纵坐标,进而可用m的代数式表示出MN的长,结合MN＝3即可得出关于m的含绝对值符号的一元二次方程,分类讨论即可得出结果.
32312
【答案】解：(1)∵抛物线y＝ax＋x＋4的对称轴是直线x＝3,∴－＝3,解得a＝－,
22a4123
∴抛物线的解析式为y＝－x＋x＋4.
42123
当y＝0时,－x＋x＋4＝0,
42解得x1＝－2,x2＝8.
∴点A的坐标为(－2,0),点B的坐标为(8,0)； 123
(2)当x＝0时,y＝－x＋x＋4＝4,
42∴点C的坐标为(0,4).
设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0). 将B(8,0),C(0,4)代入y＝kx＋b,得
??8k＋b＝0，?k＝－，?
2 ?解得?
??b＝4，?
?b＝4，
1
∴直线BC的解析式为y＝－x＋4.
2
1231????设点M的坐标为?m，－m＋m＋4?,则点N的坐标为?m，－m＋4?, 422????
1
?123?1??∴MN＝?－m＋m＋4－?－m＋4??
2?2???4?12?＝?－m＋2m?.
?4?
?12?又∵MN＝3,∴?－m＋2m?＝3.
?4?
1212
当－m＋2m≥0,即0≤m≤8时,－m＋2m＝3,解得m1＝2,m2＝6,
44此时点M的坐标为(2,6)或(6,4).
12
同理,当－m＋2m＜0,即m>8或m<0时,点M的坐标为(4－27,7－1)或(4＋27,－7－1).
4综上所述,点M的坐标为(2,6),(6,4),(4－27,7－1)或(4＋27,－7－1).
2
1.(2024·安顺中考改编)如图,已知抛物线y＝ax＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1,且抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中A(1,0),C(0,3).
(1)若直线y＝mx＋n经过B,C两点,求直线BC和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标. 解：(1)依题意,得
??
?a＋b＋c＝0， ??c＝3，
a＝－1，??
解得?b＝－2，
??c＝3，
∴抛物线的解析式为y＝－x－2x＋3. 令y＝0,则－x－2x＋3＝0, 解得x1＝1,x2＝－3, ∴点B(－3,0).
把B(－3,0),C(0,3)代入y＝mx＋n,得
?－3m＋n＝0，?? ?n＝3，?
??m＝1，解得?
?n＝3，?
2
2
b
－＝－1，2a
∴直线BC的解析式为y＝x＋3；
(2)设直线BC与x＝－1的交点为M,连接AM. ∵点A,B关于抛物线的对称轴对称, ∴MA＝MB,
∴MA＋MC＝MB＋MC＝BC,
∴当点M为直线BC与x＝－1的交点时,MA＋MC的值最小. 把x＝－1代入y＝x＋3,得y＝2, ∴M(－1,2).
二次函数与图形的面积
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例2 (2024·达州中考改编)如图,抛物线经过原点O(0,0),A(1,1),B(,0).
2(1)求抛物线的解析式；
(2)连接OA,过点A作AC⊥OA交抛物线于点C,连接OC,求△AOC的面积.
2024年毕节专版中考数学复习专题二次函数与几何图形的综合精讲试题
