2013 ~2014学年秋季学期（2014.01） 高等数学A 课程考试试题(A卷) 答案
一、填空题(本题共有5道小题，每小题3分，满分15分)，请将答案填在横线上． 1. lim(x??3?x5x)? e5 . 2?x2. 曲线y?ex?x在点?0,1?处的切线方程是 y?1 . 3. 数列
??nn中最大的项为 3 .
314?f?x??fxdx4. 设f?x??e2x，??x??lnx，则??= . ?????????0?3125. 若函数f(x)的一个原函数为arctanx，则xf(1?x)dx= ?arctan(1?x2)?C .
2?二、单项选择题(本题共有5道小题，每小题3分，满分15分)，请将合适选项填在括号内．
?1．设函数f(x)在区间[?1,1]上连续，则x?0是函数F(x)?x的【 B 】.
x（A）跳跃间断点 （B）可去间断点 （C）无穷间断点 （D）振荡间断点. 2. 下列变量中，是无穷小量的为【 B 】.
1x?2(x?2). （A）ln(x?0?) （B）lnx(x?1)（C）cosx (x?0) （D）2xx?40f(t)dt3. 函数y?ln?1?x2?的单调增加且图形为凹的区间是【 C 】.
(A) ???,?1? (B) ??1,0? (C) ?0,1? (D) ?1,??? .
4. 设p?0，若反常积分
???21dx收敛，则p应满足【 A 】. p(x?1)（A）
p?1 （B）p?1 （C）p?2 （D）p?2.
5. z?2x2?y2在空间直角坐标系中表示【 D 】.
(A) 旋转抛物面 (B) 球面 (C) 抛物柱面 (D) 顶点在坐标原点、开口向上的圆锥面.
1
三、计算下列各题（本题共有4道小题，每小题5分，满分20分）. 1．求极限 limx?2x2?x?24x?1?3.
解 （解法一）limx?2x2?x?24x?1?3
?lim(x?1)(x?2)(4x?1?3)
x?2(4x?1)?9?lim(x?1)(4x?1?3)9?
x?224（解法二）limx?2x2?x?24x?1?3?limx?22x?1124x?1
?4?9 2
?x?2et2．求曲线?. ?t在t=0相应的点处的切线方程及法线方程
?y?edyy't?e?t1?2t????e 解 tdxx't22edy1??
dxt?021切线方程为y?1??(x?2)或x?2y?4?0
2所以，切线斜率k?法线方程为y?1?2(x?2)或2x?y?3?0
3. 设f(x)?3x?1?x2?f2(x)dx，求f(x).
01解 令
?10f2(x)dx?a，则f(x)?3x?1?x2a，a为常数。
f2(x)?9x2?6ax1?x2?a2(1?x2)
1?10f2(x)dx??9x2dx?6a?x1?x2dx?a2?(1?x2)dx
00011223a，亦即2a2?9a?9?0 解得a?3或a?。 3231?x2。 所以f(x)?3x?31?x2或f(x)?3x?2
即a?3?2a?2
112n4. 求极限lim(????).
2222n??nn?1n?4n?n1n??n1n11?()2n2n21?()2nnnn1?()2n解 原式?lim[????]
??
10x1?x2dx?2?1
四、（本题满分10分）已知方程x3?6x2?9x?k?0有且只有一个正根，求实数k的取值范围.
解
设函数f(x)?x3?6x2?9x,f?(x)?3x2?12x?9?3(x2?4x?3)?3(x?1)(x?3), 可得，f(1)?4为f(x)的极大值，f(3)?0为f(x)的极小值。
又，f（0）＝0,limf(x)???和limf(x)???，从而f(x)的图像如下：
x???x???
不难看出，当k>4时f（x）＝k有唯一正根 ，故实数k的取值范围是（4,+?）.
五、（本题满分10分）
求以点A(0,1,2)、B(4,2,?1)、C(3,0,2)为顶点的三角形的面积S.
????????解 三角形ABC的面积S等于以AB、AC为邻边的平行四边形面积的一半,而
????????AB?(4,1,?3),AC?(3,?1,0),
ij1kAB?AC?4所以
?3??3i?9j?7k,
3?10S?111AB?AC?(?3)2?(?9)2?(?7)2?139. 2223
中国农业大学2013-2014学年秋季学期高数A试题(A卷)答案
