2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题一、选择题:1 ?8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.(1) 下列反常积分收敛的是
(A)( )
?
??
1x2
dx
(B)??
??2lnx
dxx1dxxlnxxdxxe函数(C)??2(D)?
??2(2)()f?x??lim(1?
t?0
x2sintt)x在(??,??)
内(A)连续(B)有可去间断点(C)有跳跃间断点(D)有无穷间断点(3)1??xcos,x?0??x(??0,??0),若f'?x?在x?0处连续设函数f?x????
?0,x?0
)(A)????0(C)????2
(B)0?????1(D)0?????2
则:((4)设函数f(x)在???,???内连续，其中二阶导数f??(x)的图形如图所示，则曲线()y?f(x)012(D)3
(A)(B)(C)的拐点的个数为22
(5)设函数f?u,v?满足f?x?y,??x?y，则x??u?
?
y??fu?1与v?1?f?vu?1v?1依次是()(A)1,021(B)0,21(C)?,021
(D)0,?
2
3x围成的平面(6)设D是第一象限由曲线2xy?1，4xy?1与直线y?x，y?区域，函数()(A)f?x,y?在D上连续，则??f?x,y?dxdy?
D?
?3?4
d??
1sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??rdr
(B)?
?3?4d??1sin2?12sin2?1sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??rdrf?rcos?,rsin??dr
(C)?3?4?
?3?4d??
(D)?d??1sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??dr?1?
?111?????
(7)设矩阵A??12a?,b??d?.若集合???1,2?，则线性方程组??
?14a2??d2???
??
Ax?b
()有无穷多解的充分必要条件为：(A)a??,d??(C)a??,d??
(B)a??,d??(D)a??,d??
222
(8)设二次型f?x1,x2,x3?在正交变换x?Py下的标准形为2y1，其中?y2?y3
P?(e1,e2,e3)，若Q?(e1,?e3,e2)则f?(x1,x2,x3)在正交变换x?Qy下的标准()222
(A)2y1?y2?y3222(C)2y1?y2?y3
形为222
(B)2y1?y2?y3222(D)2y1?y2?y3
：二、填空题：9?14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.．．．?x?arctantd2y
则(9)?3
dx2?y?3t?t
2
x
t?1
?
n
(10)函数f(x)?x?2在x?0处的n阶导数f(0)?_________(11)设f?x?连续，??x??
?
x2
0
xf?t?dt，若??1??1,???1??5，则f?1??
''
'
(12)设函数y?y?x?是微分方程y?y?2y?0的解，且在x?0处yx取得极值3，则??y?x?=。(13)若函数Z?z?x,y?。由方程ex?2y?3z?xyz?1
确定，则dz?0,0?=(14)若3阶矩阵A的特征值为2,?2,1，B?A2?A?E，其中E为3阶单位阵，则行列式B?
.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分）设函数f(x)?x?aln(1?x)?bxsinx，g(x)?kx.若f(x)与g(x)在x?0时是等价无3
穷小，求a,b,k的值.(16)(本题满分10分)设A>0，D是由曲线段y?Asinx(0?x?
??)及直线y?0，x?所围成的平面区域，V1，22V2分别表示D绕x轴与绕y轴旋转成旋转体的体积，若V1?V2，求A的值。(17)(本题满分11分)2
已知函数f(x,y)满足fxy\(x,y)?2(y?1)ex，fx(x,0)?(x?1)e，f(0,y)?y?2y，'x求f(x,y)的极值。(18)(本题满分10分)计算二重积分222
x(x?y)dxdy，其中D?(x,y)x?y?2,y?x????D(19)(本题满分11分)已知函数f?x??
?
1
x1?t2dt??1X
2
1?tdt，求f?x?零点的个数？(20)(本题满分10分)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120?C的物体在20?C的恒温介质中冷却，30min后该物体降至30?C，若要将该物体的温度继续降至21?C，还需冷却多长时间？(21)(本题满分10分)已知函数f?x?在区间?a，+??上具有2阶导数，f?a??0，f??x??0，f''?x??0，设b?a，曲线y?f?x?在点b,f?b?处的切线与x轴的交点是?x0，0?，证明a?x0?b。??(22)(本题满分11分)?a10?
??
设矩阵A??1a?1?且A3?O.?01a???
(1)求a的值；(2)若矩阵X满足X?XA2?AX?AXA2?E，E为3阶单位阵，求X.(23)(本题满分11分)?1?20??02?3?
????
设矩阵A???13?3?相似于矩阵B??0b0?.?1?2a??031?????
（1）求a,b的值；（2）求可逆矩阵P，使P?1AP为对角阵.
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)
