2020-2021学年新教材人教A版必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 单元测试

章末质量评估(一)

(时间:120分钟 分值:150分)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)

1.若集合A={x|-1≤x≤2,x∈N},集合B={2,3},则A∪B等于 ( )

A.{-1,0,1,2,3} B.{0,1,2,3} C.{1,2,3} D.{2}

解析:由题意知,集合A={x|-1≤x≤2,x∈N}={0,1,2},又因为集合B={2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.

答案:B

2.若命题p:?x∈R,x2+2x+1≤0,则命题p的否定为 ( ) A.?x∈R,x2+2x+1>0 B.?x∈R,x2+2x+1<0 C.?x∈R,x2+2x+1≤0 D.?x∈R,x2+2x+1>0

解析:由命题p“?x∈R,x2+2x+1≤0”得命题p的否定为:?x∈R,x2+2x+1>0.

答案:D

3.若p:11,则p是q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:由题意,得p:1, 21

所以p?q,q?/p,所以p是q的充分不必要条件. 答案:A

4.若集合A={x|0

解析:集合A={x|0

5.若集合A={x|x<-1,或x>3},B={x|x-2≥0},则A∪B= ( ) A.{x|x<-1,或x≥2} B.{x|-1

D.R

解析:B={x|x≥2},根据集合的并集运算可以得到A∪B={x|x<-1,或x≥2}.

答案:A

6.命题“对任意的x∈R,3x3-2x2+4<0”的否定是 ( ) A.任意的x∈R,3x3-2x2+4≥0 B.存在x?R,3x3-2x2+4≥0 C.存在x∈R,3x3-2x2+4≥0 D.存在x∈R,3x3-2x2+4<0

解析:命题“对任意的x∈R,3x3-2x2+4<0”是全称量词命题,否定时将量词“对任意的”变为“存在”,再将不等号“<”变为“≥”即可,即“存在x∈R,3x3-2x2+4≥0”.

答案:C

7.若集合A={-1,0,1,2},B={x|x≥1},则图中阴影部分所表示的集合为 ( )

A.{-1} B.{0} C.{-1,0} D.{-1,0,1}

解析:阴影部分可表示为A∩(?RB),因为?RB={x|x<1}, 所以A∩(?RB)={-1,0}.

答案:C

8.已知p:4x-m<0,q:-2≤x≤2,若p是q的一个必要不充分条件,则m的取值范围为 ( )

A.m≥8 B.m>8 C.m>-4 D.m≥-4

解析:因为p:4x-m<0,即p:x<,且q:-2≤x≤2,p是q的一个必要不充

4????

??

分条件,所以{x|-2≤x≤2}?{??|??<},故>2,即m>8.

44

答案:B

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.若集合A={x|x2-2x=0},则有 ( ) A.??A B.-2∈A

C.{0,2}?A D.A?{y|y<3} 答案:ACD

10.设全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,4},B={0,1,3},则 ( ) A.A∩B={0,1} B.?UB={4}

C.A∪B={0,1,3,4}

D.集合A的真子集的个数为8 答案:AC

11.已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,下列命题正确的是 ( )

A.r是q的充要条件

B.p是q的充分不必要条件 C.r是q的必要不充分条件 D.r是s的充分不必要条件 答案:AB

????

12.设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a,b∈P,都有a+b,a-b,ab,∈P(b≠0),则称P是一个数域,例如有理数集Q是数域,下列命题中正确的是 ( )

A.数域必含有0,1两个数 B.整数集是数域

C.若有理数集Q?M,则数集M一定是数域 D.数域中有无限多个元素 答案:AD

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)

13.若集合A={0,1},B={1,2},则A∩B={1}. 解析:因为集合A={0,1},B={1,2}, 所以A∩B={1}.

14.命题“?x>1,使得

1x11x1

≥成立”的否定是?x>1,使得()<成立. 2222

解析:根据存在量词命题的否定是全称量词命题,得“?x>1,使得()x≥成立”的否定是“?x>1,使得()x<成立”.

2

2

2

2

1

1

1

1

15.关于x的方程m2x2-(m+1)x+2=0的所有根的和为2的充要条件

是m=0.

16.已知集合A={x|1

解析:因为x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,所以A?B,所以m+2≥3,所以m≥1.

四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)

17.(10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.

(1)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除;

(2)对任意非零实数x1,x2,若x1; ??1??21

1

(3)对任意的x∈R,x2+x+1=0都成立; (4)?x∈R,使得x2+1=0.

解:(1)存在量词命题.因为99既能被11整除,又能被9整除,所以是真命题.

(2)全称量词命题.存在x1=-1,x2=1,x1

??1??21

1

(3)全称量词命题.因为存在x=0使x2+x+1=0不成立,故是假命题. (4)存在量词命题.因为对任意x∈R,x2+1>0,所以是假命题. 18.(12分)已知命题p:3a0),命题q:1

23

要不充分条件,求实数a的取值范围.

3??>1,

3解:因为q是p的必要不充分条件,所以p?q,q?/p,从而有{

4??≤

2

3??≥1,13

3解得≤a≤. 或{

384??<,

2

所以实数a的取值范围是≤a≤.

3

8

13

19.(12分)设集合A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}. (1)若a=,试判断集合A与B的关系;

51

(2)若B?A,求实数a的值.

解:(1)A={3,5},当a=时,由已知可得B={5},所以B是A的真子集.

51

(2)当B=?时,满足B?A,此时a=0;

当B≠?时,集合B={},又因为B?A,所以=3或=5,解得a=或a=.

??????35综上,a的值为0或或.

3

51

11

1

1

1

1

20.(12分)已知集合A={x|1

(1)求A∪B,(?RA)∩B;

(2)若C?B,求实数a的取值范围.

解:(1)因为A={x|1

所以(?RA)∩B={x|6≤x<10}. (2)因为C?B,

①当C=?时,满足题意,此时有5-a≥a,所以a≤;

25

5-??

5

②当C≠?时,则有{5-??≥2,解得

2

??≤10,

所以a的取值范围是a≤3.

21.(12分)已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}. (1)若A是空集,求a的取值范围;

(2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来; (3)若A中至多只有一个元素,求a的取值范围. 解:(1)若A是空集,

则方程ax2-3x+2=0无解, 此时Δ=9-8a<0, 即a>.

89

(2)若A中只有一个元素,

则方程ax2-3x+2=0有且只有一个实根, 当a=0时方程为一元一次方程,满足条件. 当a≠0,此时Δ=9-8a=0,解得:a=.

89

9

所以a=0或a=.

8

若a=0,则有A={},

3若a=,则有A={}.

83

(3)若A中至多只有一个元素,

则A为空集,或有且只有一个元素.

由(1),(2)得满足条件的a的取值范围是a=0或a≥.

89

9

4

2

22.(12分)设全集是实数集R,集合A=x≤x≤2,B={x|x-a<0}.

2

(1)当a=1时,分别求A∩B与A∪B; (2)若A?B,求实数a的取值范围; (3)若(?RA)∩B=B,求实数a的最大值.

解:(1)当a=1时,B={x|x<1},所以A∩B={??|≤??<1},A∪

21

1

B={x|x≤2}.

(2)因为A?B,所以a>2,

所以实数a的取值范围为a>2. (3)因为(?RA)∩B=B,所以B??RA. 又因为?RA={??|??<,或??>2},所以a≤, 2

2

1

1

12

所以实数a的最大值为.