20XX年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准
说 明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准. 选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次.
一、选择题(本题满分36分，每小题6分)
→→→1．已知△ABC，若对任意t∈R，BA－tBC≥AC，则△ABC一定为
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．答案不确定 答C．
→→→解：令∠ABC＝α，过A作AD⊥BC于D，由BA－tBC≥AC，推出
|||||
|||
||
→→BA· BC→2→→2→2→2
BA－2tBA· BC＋tBC≥AC,令t＝，代入上式，得
→2 BC
||||
2
||
→→→→→|→BA|－2|BA|cosα＋|BA|cosα≥|AC|，即 |BA|sinα≥|AC|,
2
2
22
22
2
2
π→→→→也即BAsinα≥AC．从而有AD≥AC．由此可得∠ACB＝．
22．设logx(2x2＋x－1)＞logx2－1，则x的取值范围为
11
A．＜x＜1 B．x＞且x≠1 C． x＞1 D． 0＜x＜1
22答B．
?x＞0，x≠11解：因为?2，解得x＞且x≠1．由logx(2x2＋x－1)＞logx2－1，
2?2x＋x－1＞0
?0＜x＜1，?x＞1，
? logx(2x3＋x2－x)＞logx2? ?32或?32．解得0＜x＜1或x＞1．
?2x＋x－x＜2?2x＋x－x＞2
||
||||||
1
所以x的取值范围为x＞且x≠1．
2
3．已知集合A＝{x|5x－a≤0}，B＝{x|6x－b＞0}，a，b∈N，且A∩B∩N＝{2，3，4}，则整数对(a，b)的个数为
A．20 B．25 C．30 D．42 答C．
ab
解：5x－a≤0?x≤；6x－b＞0?x＞．要使A∩B∩N＝{2，3，4}，则
56
?1≤6＜2，?6≤b＜12，
所以数对(a，b)共有C1C1＝30个． ?a，即??20≤a＜25．
4≤＜5?5
6
5
b
π
4．在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1．已知G与E分别为A1B1和CC1的
2中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为
111
A．[，1) B．[，2) C．[1，2) D．[，2)
555答A．
解：建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，则F(t1，0，0)(0111→1→＜t1＜1)，E(0，1，)，G(，0，1)，D(0，t2，0)(0＜t2＜1)．所以EF＝(t1，－1，－)，GD＝(－，22221→t2，－1)．因为GD⊥EF，所以t1＋2t2＝1，由此推出0＜t2＜．又DF＝(t1，－t2，0)，
2
|→DF|＝
22
t21＋t2＝5t2－4t2＋1＝
2211→5(t2－)＋，从而有≤DF＜1．
555
||
5．设f(x)＝x3＋log2(x＋x2＋1)，则对任意实数a，b，a＋b≥0是f(a)＋f(b)≥0的
A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 答A．
解：显然f(x)＝x3＋log2(x＋x2＋1)为奇函数，且单调递增．于是
若a＋b≥0，则a≥－b，有f(a)≥f(－b)，即f(a)≥－f(b)，从而有f(a)＋f(b)≥0． 反之，若f(a)＋f(b)≥0，则f(a)≥－f(b)＝f(－b),推出a≥－b，即a＋b≥0． －6．数码a1，a2，a3，…，a2006中有奇数个9的2007位十进制数2a1a2…a2006的个数为
11
A．(102006＋82006) B．(102006－82006) C．102006＋82006 D．102006－82006
22答B．
1 20053 2003
解：出现奇数个9的十进制数个数有A＝C20069＋C20069＋…＋C200520069．又由于
2006
(9＋1)2006＝
Σk＝0
2006
－
Ck 92006k以及(9－1)2006＝
2006
k C2006(－1)k92006Σk＝0
－k
从而得
120061 20053 2003
A＝C20069＋C20069＋…＋C2005－82006)． 20069＝2(10二、填空题(本题满分54分，每小题9分)
7. 设f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x，则f(x)的值域是 ．
9
填[0，]．
8
11
解：f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x＝1－sin2x－ sin22x．令t＝sin2x，则
22
11911max g(t)＝g(－1)＝9． f(x)＝g(t)＝1－t－t2＝－(t＋)2．因此－ming(t)＝g(1)＝0，1≤t≤1－1≤t≤12282228
9
故，f(x)∈[0，]．
8
8. 若对一切θ∈R，复数z＝(a＋cosθ)＋(2a－sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为 ．
填[－
55
，]． 55
解：依题意，得|z|≤2?(a＋cosθ)2＋(2a－sinθ)2≤4?2a(cosθ－2sinθ)≤3－5a2．
?－25asin(θ－φ)≤3－5a2(φ＝arcsin?25|a|≤3－5a2?|a|≤
5
)对任意实数θ成立． 5
555，故 a的取值范围为[－，]． 555
x2y2
9．已知椭圆＋＝1的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：x－3y＋8＋23＝0上. 当∠F1PF2
164|PF1|
取最大值时，比的值为 ．
|PF2|
填3－1．.
解：由平面几何知，要使∠F1PF2最大，则过F1，F2，P三点的圆必定和直线l相切于点P．直线l交x轴于A(－8－23，0)，则∠APF1＝∠AF2P，即?APF1∽?AF2P，即
又由圆幂定理，
|AP|2＝|AF1|·|AF2| ⑵
而F1(－23，0)，F2(23，0)，A(－8－23，0)，从而有|AF1|＝8，|AF2|＝8＋43．
|PF1||AF1|8
代入⑴，⑵得，＝＝＝4－23＝3－1．
|PF2||AF2|8＋43
1
10．底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层
2
两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm3． 12
填(＋)π． 32
解：设四个实心铁球的球心为O1，O2，O3，O4，其中O1，O2为下层两球的球心，A，B，C，D分别为四个球心在底面的射影．则ABCD是一个边长为水π(1＋
24112
)－4×π()3＝(＋)π． 23232
22的正方形。所以注水高为1＋．故应注22
|PF1||AP|
＝ ⑴ |PF2||AF2|
11．方程(x2006＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2004)＝2006x2005的实数解的个数为 ．
填1．
解：(x2006＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2004)＝2006x2005?(x＋
)(1＋x2＋x4＋…＋x2004)＝2006 2005x1
?x＋x3＋x5＋…＋x2005＋
x
2005＋2003＋2001＋…＋111
xx
1
＝2006，故x＞0，否则左边＜0． x
111
?2006＝x＋＋x3＋3＋…＋x2005＋2005≥2×1003＝2006．
xxx
等号当且仅当x＝1时成立．
所以x＝1是原方程的全部解．因此原方程的实数解个数为1．
12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完
所有红球的概率为 ． 填0.0434．
解：第4次恰好取完所有红球的概率为
2918291821
×()2×＋×××＋()2××＝0.0434． 10101010101010101010
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13. 给定整数n≥2，设M0(x0，y0)是抛物线y2＝nx－1与直线y＝x的一个交点. 试证明对于任意正整
m2
数m，必存在整数k≥2，使(xm0，y0)为抛物线y＝kx－1与直线y＝x的一个交点．
n±n2－41证明：因为与y＝x的交点为x0＝y0＝．显然有x0＋=n≥2．…(5分)
2x0
1mm2
若(xm，y)为抛物线y＝kx－1与直线y＝x的一个交点，则k＝x＋．………(10分) 000xm0
y2＝nx－1
1记km＝xm＋， 0xm0
112由于k1＝n是整数，k2＝x2＋＝(x＋)－2＝n2－2也是整数， 020x0x0
1
且 km＋1＝km(x0＋)－km－1＝nkm－km－1，(m≥2) (13.1)
x01
所以根据数学归纳法，通过(13.1)式可证明对于一切正整数m，km＝xm＋是正整数，且km≥20xm0
1现在对于任意正整数m，取k＝xm＋满足k≥2，且使得y2＝kx－1与y＝x的交点为(xm，ym……m，000)．x0(20分)
14．将2006表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和．记S＝
1≤i＜j≤5
Σ
xixj．问：
⑴ 当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最大值；
⑵ 进一步地，对任意1≤i，j≤5有|xi－xj|≤2，当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最小值. 说明理由．
解：(1) 首先这样的S的值是有界集，故必存在最大值与最小值。 若x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝2006，且使S＝
1≤i＜j≤5
Σ
xixj取到最大值，则必有
|xi－xj|≤1 (1≤i，j≤5) ………(5分) (*)
事实上，假设(*)不成立，不妨假设x1－x2≥2，则令x1?＝x1－1，x2?＝x2＋1，xi?＝xi (i＝3，4，5)．有x1?＋x2?＝x1＋x2，x1?·x2?＝x1x2＋x1－x2－1＞x1x2．将S改写成
S＝
1≤i＜j≤5
Σ
xixj＝x1x2＋(x1＋x2)(x3＋x4＋x5)＋x3x4＋x3x5＋x4x5
同时有 S?＝x1?x2?＋(x1?＋x2?)((x3＋x4＋x5)＋x3x4＋x3x5＋x4x5．于是有S?－S＝x1?x2?－x1x2＞0．这与S在x1，x2，x3，x4，x5时取到最大值矛盾．所以必有|xi－xj|≤1，(1≤i，j≤5)．
因此当x1＝402，x2＝x3＝x4＝x5＝401时S取到最大值． ……………………(10分) ⑵ 当x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝2006，且|xi－xj|≤2时，只有 （I） 402， 402， 402， 400， 400； （II） 402， 402， 401， 401， 400； （III） 402， 401， 401， 401， 401；
三种情形满足要求． ……………………(15分)
而后两种情形是由第一组作xi?＝xi－1，xj?＝xj＋1调整下得到的．根据上一小题的证明可知道，
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