.
IaRa-IbRb=Uab IcRc-IaRa=Uca Ia+Ib+Ic=0
图13 图14
解得Ia=RcUab/(RaRb+RbRc+RcRa)+ RbUca/(RaRb+RbRc+RcRa) 在Δ网络中有 IAB=UAB/RAB ICA=UCA/RCA IA=IAB-ICA
解得IA= (UAB/RAB)-( UCA/RCA) 因为要求Ia=IA ,所以
RcUab/(RaRb+RbRc+RcRa)+ RbUca/(RaRb+RbRc+RcRa)= (UAB/RAB)-( UCA/RCA) 又因为要求Uab= UAB ,Uca= UCA 所以要求上示中对应项系数相等,即 RAB=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Rc -----------------(1) RCA=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Rb------------------(2) 用类似的方法可以解得
RBC=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Ra--------------------(3) (1)、(2)、(3)三式是将Y网络变换到Δ网络的一组变换式。 在(1)、(2)、(3)三式中将RAB 、RBC、RCA作为已知量解出Ra、Rb、Rc即可得到 Ra=RAB*RCA/(RAB+RBC+RCA)-----------------(4) Rb=RAB*RBC/(RAB+RBC+RCA) -----------------(5) Rc=RBC*RCA/(RAB+RBC+RCA) -----------------(6) (4)、(5)、(6)三式是将Δ网络变换到Y网络的一组变换式。 例(1)求如图15所示双T桥网络的等效电阻RAB。
5? 1?1?2 8??A?A2?2? 4?4?2?1?2?2?
5?5?B?B??
图15 图16
分析:此题无法直接用串、并联规律求解,需要将双T桥网络中两个小的Y网络元变换成两个小的Δ网络元,再直接用串、并联规律求解即可。 解:原网络等效为如图16所示的网络,由此可以算得 RAB=118/93Ω
例(2)有7个电阻同为R的网络如图17所示,试求A、B间的等效电阻RAB。
5RB B5R?2 5R2R
...
A?AR?C.
图17 图18
解:将Y网络O-ABC变换成Δ网络如图18所示 其中 RAB=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Rc=5R
RBC=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Ra=5R/2
BRCA=(RaRb+RbRc+RcRa)/ Rb=5R
I3?I4这样就是一个简单电路了,很容易算得
R3R4RAB=7R/5
A4:电桥平衡法 ?G? CI2 I1R1?R2
D
图19
如图19所示的电路称为惠斯通电桥,图中R1、R2、R3、R4分别叫电桥的臂,G是灵敏电流计。当电桥平衡(即灵敏电流计的示数为零)的时候,我们称之为电桥平衡。这时有
I1=I2, I3=I4, I1RI=I3R3, I2R2=I4R4
有这些关系可以得到
R1/R2=R3/R4
上式称之为电桥平衡条件,利用此式简化对称性不明显的电路,十分方便。
例:有n 个接线柱,任意两个接线柱之间都接有一个电阻R求任意两个接线柱之间的电阻。 E?
?D
? C?B? A图20
分析:粗看本题根本无法求解,但是能充分利用电桥平衡的知识,则能十分方便得求解。 解:如图20所示,设想本题求两接线柱A、B之间的等效电阻,根据对称性易知,其余的接线柱CDE---- 中,任意两个接线柱之间的电阻无电流通过,故这些电阻都可以删除,这样电路简化为:A、B之间连有电阻R,其余(n-2)个接线柱之间仅有电阻分别与A、B两点相连,它们之间没有电阻相连。即
1/RAB=1/R+1/[2R/(n-2)]
...
.
所以 RAB=2R/n 二:无限电阻网络
无限电阻网络分为线型无限网络和面型无限网络,下面我们就这两个方面展开讨论 1:线型无限网络
所谓“线型”就是一字排开的无限网络,既然研究对象是无限的,就可以利用“无限”这个条件,再结合我们以上讲的求电阻的方法就可以解决这类问题。
例(1)如图所示的电路是一个单边的线型无限网络,每个电阻的阻值都是R,求A、B之间的等效电阻RAB . C? A
?B
D图21
解:因为是“无限”的,所以去掉一个单元或增加一个单元不影响等效电阻即RAB应该等于从CD往右看的电阻RCD
RAB=2R+R*RCD/(R+RCD)=RCD 22
整理得 RCD-2RRCD-2R=0
1/2
解得:RCD=(1+3)R= RAB
例(2)一两端无穷的电路如图22所示,其中每个电阻均为r求a、b两点之间的电阻。
ab abr
RxRx
r
a?b?a?b?图22 图23
解:此电路属于两端无穷网络,整个电路可以看作是由三个部分组成的,如图所示,则 Rab=(2Rx+r)r/(2Rx+2r)
1
即是无穷网络,bb之间的电阻仍为Rx
1/2
则 Rx=(3-1)r
1/2
代入上式中解得Rab=(6-3)*r/6
例(3)电阻丝无限网络如图24所示,每一段金属丝的电阻均为r,求A、B之间的等效
A电阻RAB .
B图24
rrrAr F22D rr...
2r32r32r333r2CrBrr2E.
图25 图26
解:根据对称性可知,网络中背面那根无限长的电阻丝中 各点等势,故可以删去这根电阻丝,这样原网络等效为如图25所示的网络。又因为网络相对AB连线具有左右对称性,故可以折叠成如图26所示的网络,再利用例(1)的方法可得 RCD=REF=Rx
即Rx=r/2+r/2+(Rx*r/3)/(Rx+r/3)
1/2
解得:Rx=(3+21)r/6
1/2
RAB=(2r*Rx/3)/(2r/3+Rx)=2(21)r/21 2:面型无限网络
解线性无限网络的指导思想是利用网络的重复性,而解面型无限网络的指导思想是利
用四个方向的对称性。
例(1)如图27所示是一个无穷方格电阻丝网络的一部分,其中每一小段电阻丝的阻值都是R求相邻的两个结点A、B之间的等效电阻。 分析:假设电流I从A点流入,向四面八方流到 无穷远处,根据对称性,有I/4电流由A点流到
AB??B点。假设电流I经过无限长时间稳定后再由四面
八方汇集到 B点后流出,根据对称性,同样有I/4 电流经A点流到B点。
图27
解:从以上分析看出,AB段的电流便由两个I/4叠加而成,为I/2因此 UAB=(I/2)*r
A、B之间的等效电阻
RAB=UAB/I=r/2
例(2)有一无限平面导体网络,它有大小相同的正六边型网眼组成,如图28所示。所有正六边型每边的电阻均为R0,求间位结点a、b间的电阻。
分析:假设有电流I自a电流入,向四面八方流到无穷远处,那么必有I/3 电流由a流
2b点流出,那么必有1向c,有 I/6电流由c流向b.再假设有电流I由四面八方汇集I/6
3f电流由f流向 c, 有I/3电流由c流向b.
c9解:将以上两种情况结合,由电流叠加原理可知 4abgIac=I/3+I/6=I/2(由a流向c)
d58eIcb=I/3+I/6=I/2(由c流向b) 67因此ab之间的等效电阻为Rab=Uab/I=(IacR0+IcbR0)/I=R0
有关电饭煲电路的练习
1.如图所示某种电饭煲的电路原理图,R1、R2为电热丝,S为温控
...
.
开关,A、B两点间的电压保持不变。
(1)S闭合时,电饭煲处于加热状态,为什么?
(2)若R1:R2=9:1,加热时功率为800W,保温时的功率是多大?1min产生的热量是多少?
2.某家用电器具有加热、保温的功能,如图所示为其原理图。电器发热电阻R的额定电压为220V,额定功率为600W。加热时,按下温控开关S与a、b接触,此时红色指示灯亮;当温度达到一定时,温控开关S自动跳接到c,使电器处于保温状态,此时黄色指示灯亮,红灯标有“6V,1W”,黄灯标有“12V,3W”的字样。工作时两灯均能正常发光(虚线框内为电器的加热和保温装置,计算结果保留一位小数)。求:
(1)试分析R1的作用,并求出R1的阻值;
(2)算出电阻R2的阻值及在保温时刻该电器保温装置的发热功率; (3)当电器处于保温状态时,保温装置每分钟消耗的电能是多少焦? 3.电饭煲是一种常用的家用电器.性能良好的电饭煲在103℃时能自动转入保温状态.图8-32给出的是简化的电饭煲电路原理示意图.未煮饭时,触点开关1、4;2、3是分离的.煮饭时,绝缘杠杆左端上升,触点开关1、4;2、3闭合,电热丝加热,锅内温度达到103℃后,绝缘杠杆左端下移,触点开关1、4;2、3分离,触点开关3、5闭合.图中L1、L2是两个指示灯,其中一个是保温指示灯,一个是工作指示灯. (1)工作指示灯是 .(2)如果加热盘电热丝的电阻是55Ω(设电热丝的电阻不随温度变化),指示灯L1、L2的规格是 “l2V、lW”,为保证指示灯L1正常发光,电阻R1的值是 Ω.
4.如图所示是电饭煲的电路图,S1是一个限温开关,手动闭合,当此开关的温度达到居里点(103℃)时会自动断开,S2是一个自动温控开关,当温度低于70℃时会自动闭合,温度高于80℃时会自动断开,红灯是加热状态时的指示灯,黄灯是保温状态时的指示灯,限流电阻R1=R2=500Ω,加热电阻丝R3=50Ω,两灯电阻不计。
(1)根据电路分析,叙述电饭煲煮饭的全过程(包括加热和保温过程)。
(2)简要回答,如果不闭合开关S1,电饭煲能将饭煮熟吗? (3)计算加热和保温两种状态下,电饭煲消耗的功率之比。
(4)电饭煲中的电热部分,是在电路中串联有一个PTC元件,它是一个热敏电阻器,其中电阻率随温度的关系如图所示,由于这种特性,它具有温控功能,使电饭煲自动地处于煮饭和保温状态。对于PTC元件在电饭煲中的作用,以下说法中正确的是( )
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物理竞赛专题训练(电学)
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