【答案】1 【解析】 【分析】
由题意得出展开式中共有11项，n?10；再令x?1求得展开式中各项的系数和． 【详解】
2??由?x?2?的展开式中只有第六项的二项式系数最大， x??所以展开式中共有11项，所以n?10； 令x?1，可求得展开式中各项的系数和是：
10（1?2）?1．
n故答案为：1． 【点睛】
本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，考查二项式展开式各项系数和的求法，属于基础题. 16．在棱长为6的正方体ABCD?A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是面DCC1D1，所在平面内的动点，且满足?APD??MPC，则三棱锥P?BCD的体积的最大值是__________. 【答案】123 【解析】 【分析】
根据Rt?ADP与Rt?MCP相似，PD?2PC，过P作PO?CD于O，利用体积公式求解OP最值，根据勾股定理得出3h2??3x2?48x?144，0?x?6，利用函数单调性判断求解即可. 【详解】
∵在棱长为6的正方体ABCD?A1B1C1D1中，
M是BC的中点，点P是面DCC1D1所在平面内的动点，
且满足?APD??MPC，又?ADP??MCP?90o， ∴Rt?ADP与Rt?MCP相似 ∴
ADPD??2，即PD?2PC， MCPC
过P作PO?CD于O，设DO?x，PO?h， ∴x2?h2?2?6?x??h2，化简得：
23h2??3x2?48x?144，0?x?6，
根据函数单调性判断，x?6时，3h2取得最大值36，hmax?23， 在正方体中PO?平面ABCD. 三棱锥P?BCD体积的最大值为?【点睛】
本题考查三角形相似，几何体体积以及函数单调性的综合应用，难度一般. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．在VABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（1）求角A的大小；
（2）若2sinAsinB?1?cosC，?BAC的平分线与BC交于点D，与VABC的外接圆交于点E（异于点A），AE??AD，求?的值. 【答案】（1）A?30?；（2）【解析】 【分析】 （1）由11?6?6?23?123 32sinC?3sinBa?b. ?sinA?sinBcuuuruuur23 3sinC?3sinBa?b，利用正弦定理转化整理为a2?b2?c2?3bc，再利用余弦定理求解. ?sinA?sinBc（2）根据2sinAsinB?1?cosC，利用两角和的余弦得到cos?A?B??1，利用数形结合，设AC?1，在VADC中，由正弦定理求得AD，在△AOE中，求得AE再求解. 【详解】 （1）因为sinC?3sinBa?b， ?sinA?sinBc所以c?3bc??a?b??a?b?，
??即a2?b2?c2?3bc，即cosA?3，所以A?30?. 2（2）∵2sinAsinB?1?cosC?1?cos?A?B?，
?1?cosAcosB?sinAsinB.
所以cos?A?B??1，从而A?B. 所以B?30?，C?120?.
不妨设AC?1，O为VABC外接圆圆心 则AO=1，AB?3，?ADC??EAO?45?. 在VADC中，由正弦定理知，有
ADAC1??.
sin120?sin?ADCsin45?即AD?6； 2
在△AOE中，由?OAE??OEA?45?，OA?1， 从而AE?所以??2. AE23. ?AD3【点睛】
本题主要考查平面向量的模的几何意义，还考查了数形结合的方法，属于中档题. 18．已知函数f?x??x?1．
（1）求不等式f?x?＜x?x?1的解集；
（2）若函数g?x??log2[f?x?3??f?x??2a]的定义域为R,求实数a 的取值范围．
??? (2) ???，? 【答案】 (1) ?0，【解析】
??3?2?【分析】
（1）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可．（2）要使函数g?x?的定义域为R，只要h?x??f?x?3??f?x??2a的最小值大于0即可,根据绝对值不等式的性质求得最小值即可得到答案． 【详解】 （1）不等式
f?x?＜x?x?1?x?1＜x?x?1
?x?1??1?x?1?x??1或?或?， ?x?1?x?x?11?x?x?x?11?x?x?x?1???解得x?1或0?x?1，即x>0,
???． 所以原不等式的解集为?0，（2）要使函数g?x??log2[f?x?3??f?x??2a]的定义域为R， 只要h?x??f?x?3??f?x??2a的最小值大于0即可， 又h?x??x?2?x?1?2a?|?x?2???x?1?|?2a?3?2a，
321]时取等，只需最小值3?2a＞0，即a＜． 当且仅当x?[?2，3????，所以实数a的取值范围是??．
2??【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，考查利用绝对值三角不等式求最值，属基础题．
x2y219．设直线l与抛物线x?2y交于A,B两点，与椭圆??1交于C,D两点，设直线
422OA,OB,OC,OD（O为坐标原点）的斜率分别为k1,k2,k3,k4，若OA?OB.
（1）证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标；
（2）是否存在常数?，满足k1?k2???k3?k4?？并说明理由. 【答案】（1）证明见解析（0，2）；（2）存在，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）设直线l的方程为y=kx+b代入抛物线的方程，利用OA⊥OB，求出b，即可知直线过定点（2）由斜率公式分别求出k1?k2，k3?k4，联立直线与抛物线，椭圆，再由根与系数的关系得x1?x2，x1x2，
x3?x4，x3x4代入k1?k2，k3?k4，化简即可求解.
【详解】
（1）证明：由题知，直线l的斜率存在且不过原点， 故设l:y?kx?b(b?0),A?x1,y1?,B?x2,y2?
?y?kx?b由?2可得x2?2kx?2b?0， ?x?2y?x1?x2?2k,x1x2??2b.
uuuruuurQOA?OB,?OA?OB?0，
?x1x2?y1y2?x1x2故b?2
x1x2???42?0，
所以直线l的方程为y?kx?2 故直线l恒过定点(0,2).
（2）由（1）知x1?x2?2k,x1x2??4
?k1?k2?y1y2? x1x2?kx1?2kx2?2? x1x222? x1x2?2k?2?x1?x2??2k??k
x1x2设C?x3,y3?,D?x4,y4?
?y?kx?2?22由?x2y2可得?1?2k?x?8kx?4?0，
?1??2?4?x3?x4???k3?k4?8k4,xx? 341?2k21?2k2y3y4? x3x4?kx3?2kx4?2? x3x422? x3x4?2k?
河北省廊坊市2019-2020学年高考数学模拟试题含解析
