④过 a 一定可以作一个平面与 b 平行
例二：两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于
AB，M∈AC，N∈FB，且 AM=FN，求证：MN∥平面 BCE.
命题意图：本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定
与性质，以及一些平面几何的知识。
知识依托：解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平
面外的一条直线平行，即线(内)∥线(外) ? 线(外)∥面.或转化为证两个
平面平行.
技巧与方法：证法一利用线面平行的判定来证明 .证法二采
用转化思想，通过证面面平行来证线面平行.
证法一：作 MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q 为垂足，则 MP∥
AB，NQ∥AB.
∴MP∥NQ，又 AM=NF，AC=BF，
∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°
∴Rt△MCP≌Rt△NBQ
∴MP=NQ,故四边形 MPQN 为平行四边形
∴MN∥PQ
∵PQ? 平面 BCE，MN 在平面 BCE 外，
∴MN∥平面 BCE.
证法二：如图过 M 作 MH⊥AB 于 H，则 MH∥BC，
∴ AM ? AH
连结 NH，由 BF=AC，FN=AM，得 FN ?
BF AC AB
AH AB
∴MN∥平面 BCE.
［例 2］在斜三棱柱 A1B1C1—ABC 中，
底面是等腰三角形，AB=AC，侧面 BB1C1C⊥
底面 ABC.
(1)若 D 是 BC 的中点，求证：AD⊥CC1；
(2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M，若
AM=MA1，求证：截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C；
(3)AM=MA1 是截面 MBC1⊥平面 BB1C1C 的充要条件吗？
请你叙述判断理由.
命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，
知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质.
技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条
件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何
巧妙作辅助线.
(1)证明：∵AB=AC，D 是 BC 的中点，∴AD⊥BC
∵底面 ABC⊥平面 BB1C1C，∴AD⊥侧面 BB1C1C
∴AD⊥CC1.
(2)证明：延长 B1A1 与 BM 交于 N，连结 C1N
∵AM=MA1，∴NA1=A1B1
∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1
∴C1N⊥C1B1
∵底面 NB1C1⊥侧面 BB1C1C，∴C1N⊥侧面 BB1C1C
∴截面 C1NB⊥侧面 BB1C1C
∴截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C.
(3)解：结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性.
过 M 作 ME⊥BC1 于 E，∵截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C
∴ME⊥侧面 BB1C1C，又∵AD⊥侧面 BB1C1C.
∴ME∥AD，∴M、E、D、A 共面
∵AM∥侧面 BB1C1C，∴AM∥DE
∵CC1⊥AM，∴DE∥CC1
∵D 是 BC 的中点，∴E 是 BC1 的中点
∴AM=DE= 1 CC
2
1 AA，∴AM=MA.11 1 2
课堂小结：垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类
相互转化关系：
1.平行转化
2.垂直转化
每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另
一垂直或平行最终达到目的.
例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面
内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线
垂直.
2024高考数学专题复习----立体几何专题
