第一章函数、极限和连续
§ 函数
一、
主要内容
㈠函数的概念
1.
函数的定义：y=f(x),
x� D
定义域：D(f), 值域:Z(f).
f(x) x D1 y 2?分段函数： g(x) x D2
3?隐函数：F(x,y)= 0 4.反函数：
y=f(x) T x=$ (y)=f-1(y) y=f1 (x)
定理:如果函数：y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y
是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：
y=f-1(x), D(f-1)=Y z(F)=x 且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡函数的几何特性
1. 函数的单调性:y=f(x),x � D,X1、x2 � D
当 X1 V x 时,若 f(X1)W f(X2),
贝y称f(x)在D内单调增加();
若 f(X1) > f(X2),
则称f(x)在D内单调减少();
若 f(X1)V f(X2),
则称f(x)在D内严格单调增加();
若 f(X1) > f(X2),
则称f(x)在D内严格单调减少()。
2. 函数的奇偶性：D(f)关于原点对称
偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)
3. 函数的周期性：
周期函数：f(x+T)=f(x), x� (-8, +8) 周期：T――最小的正数
4.
函数的有界性： |f(x)| < M , x� (a,b)
㈢基本初等函数
1. 常数函数：y=c , (c为常数) 2. 幕函数： y=xn , (n为实数) 3. 指数函数： y=ax , (a> 0、a 丰 1) 4. 对数函数: y=loga x ,(a>0、a丰 1) 5.
三角函数： y=s in x , y=c on x
y=ta n x , y=cot x y=secx , y=cscx
6.反三角函数： y=arcs in x, y=arcc on x
y=arctan x, y=arccot x
㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u= $ (x)
y=f[? (x)] , x � X
2. 初等函数 :
由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函 数
§极限
一、 主要内容 ㈠极限的概念
y
1. 数列的极限
n
lim
称数列
y
n 以常数 A 为极限 ;
或称数列
yn
收敛于 A.
定理 : 若
y
n 的极限存在
y
n
2.函数的极限：
⑴当
x
时，
f(x)
的极限：
lim x f (x) A f (x) lim lim x
A
x ⑵当
x
x0 时， f (x)
的极限：
lim x x0
f (x) A lim f (x)
左极限：
x x0
A
必定有界 .
f (x) A
右极限:
lim f(x)
x X0
⑶函数极限存的充要条件:
f(xA
)
f(x)
lim f (x) A
定理:
xim
!im
㈡无穷大量和无穷小量
无穷大量:
lim f (x)
称在该变化过程中
f(x)
为无穷大量。
X再某个变化过程是指：
2.无穷小量：
lim f (x)
0
称在该变化过程中
f(x)
为无穷小量。
3.
无穷大量与无穷小量的关系:
lim f (x)
lim
定理:
无穷小量的比较:
lim 0,lim
⑴若
lim
0 ，
则称B是比a较高阶的无穷小量;
⑶若
lim1
，则称B与a是等价的无穷小量，记作：B ?a
lim —
C
( C为常数)，则称卩与a同阶的无穷小量;
⑵若
< xo
xo，x ,(f(x) 0)
0
xo，x xo
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