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球的体积和表面积
[学习目标] 1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题.
知识点一 球的体积公式与表面积公式 43
1.球的体积公式V＝πR(其中R为球的半径).
32.球的表面积公式S＝4πR.
思考 球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 答 球没有底面，球的表面不能展开成平面. 知识点二 球体的截面的特点
1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆.
2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.
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题型一 球的表面积和体积
例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； 500
(2)已知球的体积为π，求它的表面积.
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解 (1)设球的半径为R，则4πR＝64π，解得R＝4， 4343256
所以球的体积V＝πR＝π·4＝π.
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43500
(2)设球的半径为R，则πR＝π，解得R＝5，
33所以球的表面积S＝4πR＝4π×5＝100π.
跟踪训练1 一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) 64π32π
A.64π B. C.32π D.
33答案 D
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2
22
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432
解析 设球的半径为R，则由题意可知4πR＝16π，故R＝2.所以球的半径为2，体积V＝πR332＝π. 3
题型二 球的截面问题
例2 平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为( )
A.6π B.43π C.46π D.63π 答案 B
解析 如图，设截面圆的圆心为O′，
M为截面圆上任一点，
则OO′＝2，O′M＝1. ∴OM＝(2)＋1＝3. 即球的半径为3. 43
∴V＝π(3)＝43π.
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跟踪训练2 已知长方体共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球表面积为________. 答案 9π
解析 如图，是过长方体的一条体对角线AB的截面，设长方体有公共顶点的三条棱的长分别为x，y，z，则由已知，
2
?xy＝得?yz＝?zx＝3，5，
15，
?x＝3，解得?y＝1，
?z＝5.
112223
所以球的半径R＝AB＝x＋y＋z＝，
222所以S球＝4πR＝9π.
题型三 球的组合体与三视图
例3 某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积.
2
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解 由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的表面积为
S＝×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π.
该几何体的体积为
12
V＝23＋×π×13＝8＋.
跟踪训练3 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比. 解 设正方体的棱长为a.
①正方体的内切球球心是正方体的中心， 切点是正方体六个面的中心， 经过四个切点及球心作截面， 如图(1)所示，则有2r1＝a， 即r1＝，所以S1＝4πr1＝πa.
2
12432π3
a22
②球与正方体的的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，
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球的体积和表面积(答案)
