第2章 圆锥曲线与方程
2．1 圆锥曲线
一、学习内容、要求及建议
知识、方法 要求 建议 二、预
椭圆、抛物线的定义 掌握 学生通过用平面截圆锥面，从具体情境中抽象出圆锥曲线模型，掌握椭圆和抛物线的定义，了解双曲线的定义． 双曲线 了解 习指
导
1．预习目标
(1)认识用平面截圆锥面得到的各种曲线；
(2)掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义；
(3)会根据不同的已知条件，利用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹．
2．预习提纲
(1)查找有关轨迹的概念，回答下列问题：
①平面内到线段两端点距离相等的点的轨迹是____________； ②平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是____________； ③空间中到定点的距离等于定长的点的轨迹是____________．
(2)阅读教材选修4－1的71页到78页，教材选修2－1的25页到27页写下列空格： ①一个平面截一个圆锥面，改变平面的位置，可得到如下图形____________， ____________，____________，____________，____________；
②平面内到两个定点F1，F2的距离_____等于常数(__________)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的__________； ③平面内到两个定点F1，F2的距离____________等于常数(______________)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；
④平面内到一个定点F和一条定直线l(________________)的距离________的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的_________．
(3)阅读课本例1，动手实践借助细绳画椭圆，结合课本27页习题2．1第3题，动手实践借助拉链画双曲线，并说明理由，以此加深对椭圆、双曲线定义的认识．
3．典型例题
例1 动点P(x，y)与两个定点A(－2，0)、B(2，0)构成的三角形周长为10．
(1)试证：动点P在一个椭圆上运动； (2)写出这个椭圆的焦点坐标．
分析：找动点P满足的条件，利用圆锥曲线的定义．
解：(1)由题意得：PA+PB+AB=10，AB=4，故PA+PB=6>4．
由椭圆的定义得：动点P在以A(－2，0)、B(2，0)为焦点的椭圆上运动． (2)由(1)得：这个椭圆的两个焦点坐标为A(－2，0)、B(2，0)．
点评：在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义中，条件都有特定的限制，如在具体问题中不加以判断，会造成错解．如本题中PA+PB=6>4是十分必要的．
在椭圆的定义中，PF1+PF2等于常数，常数大于F1F2的判断是必不可少的．若常数等于F1F2，则轨迹是线段F1F2；若常数小于F1F2，则不表示任何图形．
在双曲线的定义中，注意两个限制：一是常数小于F1F2，二是差的绝对值，两者缺一不可．若PF1－PF2是正常数且常数小于F1F2，则点的轨迹是双曲线以F2为焦点的一支；若PF2－PF1是正常数且常数小于F1F2，则点的轨迹是双曲线以F1为焦点的一支；若|PF1－PF2|是常数且等于F1F2，则点的轨迹是两条射线；若PF1－PF2是常数且等于F1F2，则点的轨迹是以F2为端点与F1F2同向的射线；若PF2－PF1是常数且等于F1F2，则点的轨迹是以F1为端点与F1F2反向的射线．
在抛物线的定义中，当点F在直线l上时，则点P的轨迹是过点F与直线l垂直的直线． 例2 已知圆C1:?x?3??y2?1和圆C2:?x?3??y2?9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，试问动圆圆心M在怎样的曲线上运动? 分析：两圆外切，则圆心距等于半径之和．
解： 设动圆的半径为R，则由动圆M同时与圆C1及圆C2相外切得：
22?MC1?R?1 ?MC?R?3?2消去R得：MC2－MC1=2，故可知动点M到两定点C1，C2的距离之差是常数2． 由双曲线的定义得：动圆圆心M在双曲线的一支(左边的一支)上运动．
点评：本题由于动点M到两定点C1， C2的距离之差是常数，而不是差的绝对值为常数，因此其轨迹只能是双曲线的一支．这一点在应用过程中要特别注意．
4．自我检测
(1)已知点A(1，0)、B(－1，0)，动点P满足：PA+PB=4，则动点P的轨迹是__ ． (2)已知点A(－2，0)、B(2，0)，动点M满足：|MA－MB|=2，则动点M的轨迹是 ____ ，其两个焦点分别为 ．
(3)已知定点A(1，0)和定直线l：x= －3，若点N到定点A与到定直线l的距离相等，则点N的轨迹是 ，其焦点为 ，准线为 ．
(4)已知点A(－2，0)、B(2，0)，动点M满足：|MA－MB|=4，则动点M的轨迹是 _． (5)在△ABC中，B(0，－3)，C(0，3)，且AB，BC，AC成等差数列，试证：点A在以B、C为焦点的椭圆上运动．
三、课后巩固练习
A组
1．用合适的选项填写下列轨迹 ( 要求只填写序号 )①直线；②圆；③椭圆；④双曲线；⑤双曲线的一支；⑥抛物线；⑦线段
(1)动点P到两定点F1(－4，0)、F2(4，0)的距离和是8，则动点P的轨迹为_______；
(2)已知椭圆的焦点为F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得PQ=PF2，那么动点Q的轨迹是_________；
(3)动点P到直线x+4=0的距离减去它到M(2，0)的距离之差等于2，则动点P的轨迹是___________；
(4)经过定圆外一定点，并且与定圆外切的动圆圆心的轨迹是__________．
2．已知O(0，0)、A(3，0)为平面内两个定点，动点P满足：PO+PA=2，求动点P的轨迹． 3．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且b，a，c成等差数列，b≥c．已知顶点B、C的坐标为B(－1，0)，C(－1，0)．试证：点A在以B、C为焦点的左半椭圆上运动． 4．在△ABC中，A为动点，B(?aa,0)、C(,0)(a?0)为定点，且满足：221sinC?sinB?sinA，试问动点A在怎样的曲线上运动?
2B组
5．圆O1与圆O2的半径分别为1和2，O1O2=4，动圆与圆O1内切而与圆O2外切，则动圆圆心的轨迹是_____________________．
6．已知定点A(－3，3)和定直线l：x=－3，若点N到定点A与到定直线l的距离相等，则点N的轨迹是 ．
7．已知圆的方程为x?y?100，点A的坐标为(－6，0)，M是圆O上的任意一点，AM的垂直平分线交OM于点P，试证明：点P在以A、O为焦点的椭圆上运动．
22C组
8．已知A(0，7)、B(0，－7)、C(12，2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，记椭圆的另一个焦点为F，证明：点F在以A(0，7)、B(0，－7)为焦点的双曲线的一支上运动．
9．已知两个同心圆，其半径分别为R，r(R>r)，AB为小圆的一条定直径，求证：以大圆切线为准线，且过A、B两点的抛物线的焦点F在以A、B为焦点的椭圆上．
10．若一个动点P(x，y)到定点F1(－1，0)，F2(1，0)距离之和为定值m(m≥0)，试讨论点P的轨迹． 知识点 椭圆的定义 双曲线的定义 抛物线的定义 综合问题 题号 2，3，7，9，10 4，5，8 6 1 注意点 注意椭圆定义的前提条件 注意双曲线定义的前提条件；注意轨迹是双曲线的哪一支 注意抛物线定义的前提条件 注意寻找动点满足的等量关系 四、 学习心得 五、拓展视野
我们身边的圆锥曲线
圆锥曲线的发现确实是一个伟大的发现．在笛卡尔直角坐标系中，这些曲线的方程是二次方程，所以圆锥曲线又叫做二次曲线．对于二次曲线的价值大概还没有人会估计得过高．在我们的实际生活中处处都有圆锥曲线．例如，我们的地球绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳系的其他行星的运行轨道都是椭圆．这个事实是由开普勒第一定律确定的，之所以沿着椭圆轨道运动，是因为每一个行星在每一个瞬间都有不超过某一个值的速度．事实证明，假如这个速度过大了，运动就会沿着抛物线或双曲线轨道运行．相对于一个静止的物体，并按照万有引力定律受它吸引的物体运动，不可能有任何其他的轨道．因此，二次曲线实际上是以我们的宇宙为基础的．又如，如果让抛物线绕其轴旋转，就得到一个叫做旋转抛物面的曲面．在抛物面的轴上，有一个具有美妙性质的焦点，任何一条通过该点的直线由抛物面上反射出来之后，在指向上都平行于抛物面的轴．而这意味着如果把探照灯做成抛物面的形状，并且把灯泡放在焦点上，那么从抛物面上反射回来的所有光线就形成一束平行光束．这显然是一个很大的优点，因为正是这样一束光线在空间中，甚至于在离光源距离相当大的情况下，很少扩散．当然，实际上我们得不到理想的平行光束，因为灯泡不是一个点，但对于实用的目的来说，只要接近于这样的光束就够了．
天文望远镜上的反射镜也是利用抛物面的形状制作的．它的作用刚好和探照灯的作用相反：探照灯的反射镜把光线反射到空间，天文望远镜的反射面则把来自宇宙的光线聚焦到自己的焦点上．只要用放大镜组瞄准这个焦点就行了，这样，我们就会得到聚焦到其光线的那个星球的信息，这比肉眼观察所能提供的信息要多得多．那条不穿过双曲线的对称轴叫做双曲线的虚轴．如果使双曲线绕这条轴旋转，那么，形成的曲面(这样的曲面称为单叶双曲面)也有许多实际用处．单叶双曲面是直纹曲面．上面有两组母直线族，各组内母线彼此不相交，而与另一组母线永远相交．正是这种性质在技术中得到了应用．例如，用直立木杆造水塔，如果把这些杆垂直地放置，那就只能得到一个很不牢固的建筑物，他会因为非常小的负荷而损坏．如果立杆时，使他们构成一个单叶双曲面(就是两组母线族)，并使他们的交点处连接在一起，就会得到一个非常轻巧而又非常坚固的建筑物．许多化工厂或热电厂的冷却塔就是利用了这个原理．
在尝试解决古代名题的过程中，所发现的各种美妙曲线远不限于螺线，蚌线和圆锥曲线．可是，不管找到了多少美妙的曲线，他们还是解决不了古代名题．要知道，正像我们还记得的那样，要求不只是解出这些名题，而是除了直尺和圆规外，不准利用其他任何工具．而仅仅利用这两种工具能否解决其中任何一个问题呢?这个问题该如何回答呢?如果这个答案存在的话，对这个问题给与肯定的回答，原则上显得比给与否定的回答更容易，只不过需要尝试才能找到这个答案．经过或多或少接连不断的寻找，这种题解通常可以找到．在题解不存在的情况下，事情则难办的多．这时，只停留在普通的几何直观上，几乎不可能得到所需要的答案．在这种情况下，可以对问题进行精确的代数分析，以便归结为完成某些代数方程的不可能性证明解答这个问题的不可能性．这样，就要求助于代数！
江苏省苏州市第五中学高中数学教案 苏教版选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》2.1圆锥曲线
