高三数学：专题一三角函数与解三角形-第1讲-三角函数的图象与性质

高三数学：专题一三角函数与解三角形-第1讲-三角函数的图象与性质

第1讲 三角函数的图象与性质

高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.

真 题 感 悟

1.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终2

边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝( )

31A. 5

B.5 5

C.25

5

D.1

230

解析 由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos2α－1＝，所以cos α＝，sin α＝

36?a－b?655?，所以|a－b|＝. ±，得|tan α|＝.由题意知|tan α|＝?

655?1－2?答案 B

?π?2.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝cos?x＋3?，则下列结论错误的是( )

??A.f(x)的一个周期为－2π B.y＝f(x)的图象关于直线x＝

8π

对称 3

π

C.f(x＋π)的一个零点为x＝

6

?π?

D.f(x)在?2，π?单调递减

??

解析 A项，因为f(x)的周期为2kπ(k∈Z且k≠0)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确.

π8π

B项，因为f(x)图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，当k＝3时，直线x＝是33其对称轴，B项正确.

π3ππ?4π??7π?C项，f(x＋π)＝cos?x＋3?，将x＝代入得到f?6?＝cos＝0，所以x＝是f(x

????626＋π)的一个零点，C项正确.

π2π??π??

D项，因为f(x)＝cos?x＋3?的递减区间为?2kπ－3，2kπ＋3? (k∈Z)，递增区间

????

2π5π???π2π??2π?

为?2kπ＋3，2kπ＋3? (k∈Z)，所以?2，3?是减区间，?3，π?是增区间，D项??????错误. 答案 D

3.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( ) A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4

cos 2x＋135解析 易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3＋1＝cos 2x＋，则

222f(x)的最小正周期为π，当2x＝2kπ，即x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4. 答案 B

4.(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( ) π

A. 4

πB. 2

C.3π 4

D.π

?π?

解析 f(x)＝cos x－sin x＝2cos?x＋4?，且函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递

??

ππ3π

减，则由0≤x＋≤π，得－≤x≤.因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以

444

π

－a≥－，??4πππ

解得a≤，所以0

??a≤4，答案 A