∵圆x?y?c(c?a?b)与E在第一象限的交点是P，且|PF|?2222227?1，
?x2y2?1??73∴联立?a23a2，得点P(a,a)，
22?x2?y2?4a2?∴|PF|?(2a?7232a)?(0?a)2?7?1，得a?1， 222y2由a?0可知a?1，∴双曲线方程E:x??1，故选D．
312．【答案】C
【解析】由图表可知：数表为从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表， 第1组1个奇数，第2组2个奇数，…，第n组n个奇数，则前n组共
n(n?1)个奇数． 2设2019在第n组中，又2019是从1开始的连续奇数的第1010个奇数，
?n(n?1)?1010??2则有?，解得n?45，即2019在第45组中，则前44组共990个数．
n(n?1)??1010??2又第45组中的奇数从右到左，从小到大，
则2019为第45组从右到左的第1010?990?20个数，
即2019为第45组从左到右的第45?20?1?26个数，即i?45，j?26， 故i?j?45?26?71．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】55
【解析】2(a1?6d)?(a1?7d)?a1?5d?a6?5，S11?14．【答案】5
【解析】易知球O的半径为r?a1?a11?11?11a6?55． 212228?8?6?41， 2取AB中点O1，则当截面与OO1垂直时，截面面积最小，
此时球心到截面的距离为d?1r2?(|AB|)2?(41)2?42?5．
215．【答案】?1 7【解析】因为sin??3cos??5，两边同时平方得sin2??6sin?cos??9cos2??5，
sin2??6sin?cos??9cos2?即?5，等式左边上下同时除以cos2?， 22sin??cos?1tan2??6tan??9tan???得，解方程可得，tan??2， ?522tan??1当tan???12tan?4??时，由二倍角公式得tan2??；
21?tan2?32tan?4??， 21?tan?3当tan??2时，由二倍角公式得tan2??4??1πtan2??11?3??． 所以tan(2??)?41?tan2?1?(?4)7316．【答案】
3119?a? 1062【解析】f(x)?0?x?2ax?15?2a?0?a?116(x?1??2)， 2x?1依题意可得函数y?a与函数g(x)?116(x?1??2)图象两个交点的横坐标为x1，x2， 2x?1作出函数y?g(x)的图象，其中y?0部分如图所示，
在区间(x1,x2)上的一个正整数必为3，观察图象的趋势易知另一个正整数为4，
?g(4)?a?g(2)3119??a?． 故?106?a?g(5)
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）T?π，f(x)?sin(2x?)；（2）最大值为1，最小值为?π61． 2【解析】（1）由图可得A?1，
T2πππ???，所以T?π，所以??2， 2362当x?ππ时，f(x)?1，可得sin(2???)?1， 66πππ，所以??，所以f(x)的解析式为f(x)?sin(2x?)． 266π6ππ?cos2xsin?cos2x 66因为|?|?（2）g(x)?f(x)?cos2x?sin(2x?)?cos2x?sin2xcos?31πsin2x?cos2x?sin(2x?)， 226因为0?x?πππ5π，所以??2x??， 2666当2x?πππ?，即x?时，g(x)有最大值，最大值为1； 623ππ1??，即x?0时，g(x)有最小值，最小值为?． 662当2x?18．【答案】（1）证明见解析；（2）2． 【解析】（1）取AC中点E，连BE，DE． ∵△ABC是正三角形，∴BE?AC．
在△ACD中，DA?DC，∴DE?AC，∴AC?平面BDE，∴AC?BD．
（2）正△ABC中，AB?2，
△ACD中，AD?CD?2，∴BE?3，DE?3，
∵?BAD?90?，∴BD?22，
(3)2?(3)2?(22)21∴△BDE中，cos?BED???，
32?3?3∴sin?BED?1?122， ?93∴S△BDE?1122?BE?DE?sin?BED??3?3??2． 223由（1）证得：AC?平面BDE，
又E为AC中点，∴VD?ABC?2VA?BDE?2??S△BDE?AE?2??2?1?设C到平面ABD的距离为h，
131322， 31112VD?ABC?VC?ABD??S△ABD?h???2?2?h?h，
3323∴
222，∴h?2． h?33?100n?850(n?16)22y?(n?N)，19．【答案】（1）见解析；（2）；（3）17． ?850(n?17)25?【解析】（1）当n?17时，y?17?(100?50)?850； 当n?16时，y?100n?17?50?100n?850．
（2）①由（1）得当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为：
?100n?850(n?16)y??(n?N)．
?850(n?17)
②设“当天利润不低于600”为事件A，
由①知，“当天利润不低于600”等价于“需求量不低于15个”， ∴P(A)?1?1222?， 1002522． 25所以当天的利润不低于600元的概率为（3）若一天制作16个蛋糕， 则平均利润为x1?1(600?12?700?18?800?70)?758； 100若一天制作17个蛋糕， 则平均利润为x2?1(550?12?650?18?750?18?850?52)?760， 100∵x1?x2，∴蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕．
x220．【答案】（1）（2）2． ?y2?1；
2【解析】（1）由题意得2b?2，解得b?1， ∵e?c2，a2?b2?c2，∴a?2，c?1， ?a2x2故椭圆的标准方程为?y2?1．
2（2）①当直线AB的斜率不存在时，不妨取A(1,222)，B(1,?)，C(?1,?)， 222故S△ABC?1?2?2?2； 2②当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y?k(x?1)，
?y?k(x?1)?2222(2k?1)x?4kx?2k?2?0， 联立方程得?x2，化简得2??y?1?2
2020届高三数学文科上学期第一次模拟考试试题
