2000年全国高中数学联赛试题
第一试
（10月15日上午8:00?9:40）
一、 选择题
本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。 1． 设全集是实数，若A={x|x?2≤0}，B={x|10x2?2=10x},则A?B是 【答】（ ）
(A) {2} (B) {?1} (C) {x|x≤2} (D) ? 2． 设sin?＞0,cos?＜0,且sin
???＞cos,则的取值范围是 【答】（ ） 3332k??2k????(A) (2k?+,2k?+), k?Z (B) (+,+),k?Z
3336635?5?(C)(2k?+,2k?+?),k?Z (D)(2k?+?,2k?+?)?(2k?+,2k?+?),k?Z
43663． 已知点A为双曲线x2?y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是
等边三角形，则△ABC的面积是 【答】（ ） (A)
333 (B) (C) 33 (D) 63 324． 给定正数p,q,a,b,c，其中p?q，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx2?2ax+c=0 【答】（ ）
(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 5． 平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y?x?的距离中的最小值是 (A)
343411 (B) (C) (D) 【答】（ ） 17085203053456． 设??cos?5?isin?5，则以?,?3,?7,?9为根的方程是 【答】（ ）
(A) x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4?x3+x2?x+1=0
(C) x4?x3?x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2?x?1=0
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7． arcsin(sin2000?)=__________. 8． 设
an是(3?
x)n的展开式中
x项的系数(n=2,3,4,…)，则
32333n)=________. lim(????n??aaa23n9． 等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________. 10．
x2y2在椭圆2?2?1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为
abB.若该椭圆的离心率是
5?1，则∠ABF=_________. 211． 一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.
12． 如果：(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4}；(2)a?b,b?c,c?d,d?a；(3)a是a,b,c,d中的最小值， 那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是_________.
三、解答题(本题满分60分，每小题20分) 13． 14．
若函数f(x)??x2?1213在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b]. 2设Sn=1+2+3+…+n,n?N，求f(n)=
Sn的最大值.
(n?32)Sn?1
15．
x2y2已知C0:x+y=1和C1:2?2?1(a＞b＞0)。试问：当且仅当a,b满足什么条件
ab2
2
时，对C1上任意一点P，均存在以P为项点,与C0外切,与C1内接的平行四边形？并证
明你的结论。
【加试】（10月15日上午10∶00-12∶00）
一．（本题满分50分）
如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．
二．（本题满分50分）
设数列{a n}和{b n }满足，且
A M N B E F C D
2000年全国高中数学联赛试题及解答
