一、选择题
π
A>0，|φ|
π
2x－? A．f(x)＝2sin?3??π2x＋? B．f(x)＝2sin?3??π2x＋? C．f(x)＝2sin?6??π2x－? D．f(x)＝2sin?6??
解析：选B.由函数图象可知，A＝2，又函数f(x)的图象过点(0，3)，所以2sin φ＝3，即sin φ＝πππ
2x＋?，故选B. 由于|φ|<，所以φ＝，于是f(x)＝2sin?3??23
π
2x－?－cos 2x，若要得到一个奇函数的图象，则可以2．(2018·郑州质量检测(二))已知函数f(x)＝3cos?2??将函数f(x)的图象( )
π
A．向左平移个单位长度
6π
B．向右平移个单位长度
6π
C．向左平移个单位长度
12π
D．向右平移个单位长度
12
πππ2x－?－cos 2x＝3cos?－2x?－cos 2x＝3sin 2x－cos 2x＝2sin?2x－?＝解析：选C.f(x)＝3cos?2?6???2??
3
，2
?x－π??，所以将f(x)的图象向左平移π个单位长度可得到奇函数y＝2sin 2x的图象．故选C. 2sin?2??12??12
ππ2π
ωx＋?(ω>0)在区间?－，?上单调递增，3．(2018·广州调研)已知函数f(x)＝sin?则ω的取值范围为( ) 6???43?8
0，? A.??3?1
0，? B.??2?
18?C.??2，3? 3?
D.??8，2?
π2πππ2ππππ
－，?，所以ωx＋∈?－ω＋，ω＋?，因为函数f(x)＝sin?ωx＋?(ω>0)在解析：选B.因为x∈?636?6??43??6?4πππ
－ω＋≥2kπ－，k∈Z，?462π2π?1?区间?－4，3?上单调递增，所以?又ω>0，所以0<ω≤，选B.
22πππ
?3ω＋6≤2kπ＋2，k∈Z.
4.(2018·石家庄质量检测(二))已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，π?π
，0，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函已知点A(0，3)，B??6?6数g(x)图象的一条对称轴方程为( )
π
A．x＝
12π
C．x＝
3
π
B．x＝
42π
D．x＝ 3
π?3π2π?πω＋φ?＝0，，又|φ|<π，所以φ＝或，又f?＝2sin?6??6?233
解析：选A.因为f(0)＝2sin φ＝3，所以sin φ＝
π62π6πωT
kπ－?×＝6k－2(k∈Z)，或ω＝?kπ－?×＝6k－4(k∈Z)，又ω>0，且＝所以＋φ＝kπ(k∈Z)，所以ω＝?3?π3?π??642π2πππ2ππ
2x＋?，将其图象向右平移个单位长度，得到＝>，所以ω<3，所以ω＝2，φ＝，所以f(x)＝2sin?3??4ω2ω636π2ππππ
x－?＋?＝2sin?2x＋?，g(x)图象的对称轴方程满足2x＋＝kπ＋(k∈函数g(x)的图象，所以g(x)＝2sin?2?3????6?3?32kππ
Z)，所以x＝＋(k∈Z)，故选A.
212
π
5.(2018·惠州第二次调研)已知函数f(x)＝Asin(2x＋θ)(|θ|≤，A>0)的部分图象如图所示，
2且f(a)＝f(b)＝0，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f(x1)＝f(x2)，有f(x1＋x2)＝3，则( )
5ππ
－，?上是减函数 A．f(x)在??1212?5ππ
－，?上是增函数 B．f(x)在??1212?π5π?C．f(x)在??3，6?上是减函数 π5π?D．f(x)在??3，6?上是增函数
解析：选B.由题图知A＝2，设m∈[a，b]，且f(0)＝f(m)，则f(0＋m)＝f(m)＝f(0)＝3，所以2sin θ＝3，sin θ＝π3πππππ5π
2x＋?，令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ，又|θ|≤，所以θ＝，所以f(x)＝2sin?3??22323212
π
≤x≤＋kπ，k∈Z，此时f(x)单调递增．所以选项B正确．
12
π0，?，6．(2018·河北“五个一名校联盟”模拟)已知函数f(x)＝1＋2cos xcos(x＋3φ)是偶函数，其中φ∈??2?
则下列关于函数g(x)＝cos(2x－φ)的正确描述是( )
ππ
－，?上的最小值为－1 A．g(x)在区间??123?
π
B．g(x)的图象可由函数f(x)的图象向上平移2个单位长度，向右平移个单位长度得到
3π
－，0? C．g(x)的图象的一个对称中心是??12?π0，? D．g(x)的一个单调递减区间是??2?
解析：选C.因为函数f(x)＝1＋2cos xcos(x＋3φ)是偶函数，y＝1，y＝2cos x都是偶函数，所以y＝cos(x＋kππππ
3φ)是偶函数，所以3φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝，k∈Z，又0<φ<，所以φ＝，所以g(x)＝cos?2x－?.
3233??ππππππ
当－≤x≤时，－≤2x－≤，cos?2x－?∈[0，1]，故A错误；f(x)＝1＋2cos xcos(x＋π)＝1－2cos2
1232333??πππππ
x＝－cos 2x，显然B错误；当x＝－时，g(x)＝cos?－?＝0，故C正确；当0≤x≤时，－≤2x－≤12233?2?2ππ
，g(x)＝cos?2x－?有增有减，故D错误．故选C. 33??
二、填空题
7．(2018·辽宁五校联合体模拟)已知函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，A(a，0)，B(b，0)1?是其图象上两点，若|a－b|的最小值是1，则f??6?＝________．
π
解析：因为函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)，所以φ＝，所以
2f(x)＝－4sin ωx，又A(a，0)，B(b，0)是其图象上两点，且|a－b|的最小值是1，所以函数f(x)的最小正周期为1?π
2，所以ω＝π，所以f(x)＝－4sin πx，所以f?＝－4sin ＝－2. ?6?6
答案：－2
πππ
8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜)，f(0)＝－f??，若将f(x)的图象向左平移个单位长度212?2?后所得函数的图象关于原点对称，则φ＝________．
πππ
解析：因为f(0)＝－f??，则sin φ＝－sin?ω＋φ?，所以ω＝4k＋2，k∈Z，将f(x)的图象向左平移
12?2??2?
ωπωπ
个单位长度后所得函数y＝sin?ωx＋＋φ＝kπ，k∈Z，由ω＞0，0＜φ＋φ?的图象关于原点对称，则
1212??
＜
ππ
得ω＝10，φ＝. 26π答案： 6
π
9．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋acos(2x＋φ)(0<φ<π)的最大值为2，且满足f(x)＝f?－x?，
?2?则φ＝________．
解析：因为f(x)＝f?即a2＝3.
ππ?
－x，所以函数f(x)的图象关于直线x＝4对称，由函数的解析式可得a2＋1＝2，?2?
π
若a＝3，则f(x)＝sin(2x＋φ)＋3cos(2x＋φ)＝2sin?2x＋φ＋?，
3??
ππππ
由函数图象的对称性可得2×＋φ＋＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)，因为0<φ<π，所以
43232π
φ＝；
3
π
若a＝－3，则f(x)＝sin(2x＋φ)－3cos(2x＋φ)＝2sin?2x＋φ－?，
3??
ππππ
由函数图象的对称性可得2×＋φ－＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ＋(k∈Z)，因为0<φ<π，所以
4323π
φ＝.
3
π2π
综上可得φ＝或.
33π2π
答案：或
33三、解答题
10．已知函数f(x)＝sin4x＋cos4x＋(1)求f(x)的最小正周期；
π
(2)当x∈?0，?时，求f(x)的最值．
4??解：f(x)＝sin4x＋cos4x＋
3
sin 2xcos 2x 2
3
sin 4x 4
3
sin 2xcos 2x. 2
＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＋13
＝1－sin2 2x＋sin 4x
2411－cos 4x3＝1－·＋sin 4x
224＝
313sin 4x＋cos 4x＋ 444
π31
＝sin?4x＋?＋. 2?6?42ππ(1)T＝＝.
42π
(2)当x∈?0，?时，
4??
ππ7π1ππππ5
－，1?，则当4x＋＝，即x＝时，函数f(x)取最大值；当4x4x＋∈?，?，sin?4x＋?∈?6?6621246?6??2??
＋
π7πππ151＝，即x＝时，函数f(x)取最小值.所以，当x∈?0，?时，函数f(x)的最大值是，最小值是. 6642424??π
11．已知函数f(x)＝3sin 2ωx＋cos4ωx－sin4ωx＋1(其中0<ω<1)，若点?－，1?是函数f(x)图象的一个
?6?
对称中心．
(1)求f(x)的解析式，并求距y轴最近的一条对称轴的方程； (2)先列表，再作出函数f(x)在区间[－π，π]上的图象．
解：(1)f(x)＝3sin 2ωx＋(cos2ωx－sin2ωx)(cos2ωx＋sin2ωx)＋1 ＝3sin 2ωx＋cos 2ωx＋1 π
＝2sin?2ωx＋?＋1.
6??
π
因为点?－，1?是函数f(x)图象的一个对称中心，
?6?所以－
ωππ
3
＋＝kπ，k∈Z，
6
1
所以ω＝－3k＋，k∈Z.
2因为0<ω<1， 1
所以k＝0，ω＝，
2π
所以f(x)＝2sin?x＋?＋1.
?6?
πππ
由x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，
623π令k＝0，得距y轴最近的一条对称轴方程为x＝.
3
π
(2)由(1)知，f(x)＝2sin?x＋?＋1，当x∈[－π，π]时，列表如下：
?6?πx＋ 6x f(x) －5π 6π－ 2－2π 30 －π 6π 2π 33 π 5π 61 7π 6π 0 －π 0 －1 1 则函数f(x)在区间[－π，π]上的图象如图所示．
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