第1讲 直线与圆
[做真题]
题型一 圆的方程
1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆x＋y－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )
4
A．－
3C．3
3B．－ 4D．2
2
2
|a＋4－1|4
解析：选A.由题可知，圆心为(1，4)，结合题意得＝1，解得a＝－. 2
3a＋12．(2015·高考全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半
164轴上，则该圆的标准方程为________．
解析：由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标3m＝，??2??m＋4＝r，
?准方程为(x－m)＋y＝r(0＜m＜4，r＞0)，则解得?所以圆的标准方?（4－m）＝r，25?
??r＝4.2
2
2
2
2
2
2
2
x2y2
32225
程为(x－)＋y＝. 24
32225答案：(x－)＋y＝
24
3．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C：y＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线
2
l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
??y＝k（x－1），2222
由?2得kx－(2k＋4)x＋k＝0. ?y＝4x?
2k＋4Δ＝16k＋16＞0，故x1＋x2＝2.
2
2
k4k＋4
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝2.
2
k - 1 -
4k＋4
由题设知2＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.
2
k(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即
y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
y0＝－x0＋5，??2
?（y0－x0＋1）2
（x＋1）＝＋16，0?2?
解得?
?x0＝3，???y0＝2
或?
?x0＝11，?
??y0＝－6.
2
2
2
2
因此所求圆的方程为(x－3)＋(y－2)＝16或(x－11)＋(y＋6)＝144. 题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)＋y＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2，6] C．[2，32]
B．[4，8] D．[22，32]
2
2
|2＋0＋2|解析：选A.圆心(2，0)到直线的距离d＝＝22，所以点P到直线的距离d1∈
2[2，32]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|1
＝22，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝2d1.因为d1∈[2，32]，所以S∈[2，6]，即△ABP2面积的取值范围是[2，6]．
2．(2015·高考全国卷Ⅱ)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( )
A．26 C．46
2
2
B．8 D．10
解析：选C.设圆的方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，
D＋3E＋F＋10＝0，D＝－2，????
则?4D＋2E＋F＋20＝0，解得?E＝4， ???D－7E＋F＋50＝0.?F＝－20.
所以圆的方程为x＋y－2x＋4y－20＝0. 令x＝0，得y＝－2＋26或y＝－2－26，
所以M(0，－2＋26)，N(0，－2－26)或M(0，－2－26)，N(0，－2＋26)，所以|MN|＝46，故选C.
3．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x＋y＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝23，则|CD|＝________．
- 2 -
2
2
2
2
解析：设圆心到直线l：mx＋y＋3m－3＝0的距离为d，则弦长|AB|＝212－d＝23，得d＝3，即2
|3m－3|
m2＋1
＝3，解得m＝－
3
，则直线l：x－3y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝3
|AB|
＝4.
cos 30°
答案：4
[山东省学习指导意见]
1．直线与方程
(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
(2)根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．体会斜截式与一次函数的关系．
(3)探索并掌握两点间的距离公式．点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离，会求两直线的交点坐标．
2．圆与方程
(1)由圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程． (2)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系． (3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．空间直角坐标系
了解空间直角坐标系，明确感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会用空间两点间的距离公式．
直线的方程 [考法全练]
1．若平面内三点A(1，－a)，B(2，a)，C(3，a)共线，则a＝( ) A．1±2或0 2±5C． 2
2－5B．或0
22＋5D．或0
2
2
3
2
3
解析：选A.因为平面内三点A(1，－a)，B(2，a)，C(3，a)共线，所以kAB＝kAC，即a2＋a2－1
- 3 -
＝
a3＋a3－1
，即a(a－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±2.故选A.
2
2．若直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，则m的值为( ) A．7 C．0
B．0或7 D．4
解析：选B.因为直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，所以m(m－1)＝3m×2，所以m＝0或7，经检验，都符合题意．故选B.
?6?3．已知点A(1，2)，B(2，11)，若直线y＝?m－?x＋1(m≠0)与线段AB相交，则实数m?
m?
的取值范围是( )
A．[－2，0)∪[3，＋∞) C．[－2，－1]∪[3，6]
B．(－∞，－1]∪(0，6] D．[－2，0)∪(0，6]
?6?解析：选C.由题意得，两点A(1，2)，B(2，11)分布在直线y＝?m－?x＋1(m≠0)的两侧
?
m?
?6???6??(或其中一点在直线上)，所以?m－－2＋1??2?m－?－11＋1?≤0，解得－2≤m≤－1或
?
m???m??
3≤m≤6，故选C.
4．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则直线l的方程为__________________．
???x－2y＋3＝0，?x＝1，
?解析：由得?所以直线l1与l2的交点为(1，2)．显然直线x＝1不?2x＋3y－8＝0，??y＝2，?
符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，|－4＋2－k|4
因为P(0，4)到直线l的距离为2，所以＝2，所以k＝0或k＝.所以直线l的方231＋k程为y＝2或4x－3y＋2＝0.
答案：y＝2或4x－3y＋2＝0
5．(一题多解)已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于直线l对称，则直线l2的方程是________．若直线l3与l关于点(1，1)对称，则直线l3的直线方程是________．
解析：法一：l1与l2关于l对称，则l1上任意一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1
的交点(1，0)在l2上．
又易知(0，－2)为l1上的一点，设其关于l的对称点为(x，y)，则
xy－2
??2－2－1＝0，?x＝－1，?
?，解得 ?y＋2
?y＝－1.?
×1＝－1??x
- 4 -
即(1，0)，(－1，－1)为l2上两点，故可得l2的方程为x－2y－1＝0. 因为l3∥l，可设l3的方程为x－y＋c＝0，则 |1－1－1||1－1＋c|
＝. 22
所以c＝±1，所以l3的方程为x－y＋1＝0.
法二：设l2上任一点为(x，y)，其关于l的对称点为(x1，y1)，则由对称性可知
x＋xy＋y??2－2－1＝0，
?y－y??x－x×1＝－1，
1
1
11
??x1＝y＋1，解得?
?y1＝x－1.?
因为(x1，y1)在l1上，
所以2(y＋1)－(x－1)－2＝0，即l2的方程为x－2y－1＝0. 因为l3∥l，可设l3的方程为x－y＋c＝0，则 |1－1－1||1－1＋c|
＝. 22
所以c＝±1，所以l3的方程为x－y＋1＝0. 答案：x－2y－1＝0 x－y＋1＝0
(1)两直线的位置关系问题的解题策略
求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．
(2)轴对称问题的两种类型及求解方法
若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1，P2的直线垂直于对称轴l.由方程组 点关于 直线的对称 x＋xy＋yA·＋B·＋C ＝0.??22可得到点P关于l对称的点P的坐标(x，?y－y?A?－?＝－1，??x－x·??B?12121222211y2)(其中B≠0，x1≠x2) 直线关 有两种情况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．一 - 5 -
高考数学二轮复习第二部分专题五解析几何第1讲直线与圆练习
