数学中考专题复习——一元二次方程1
一、本讲内容
第22章 一元二次方程 §22.1 一元二次方程
§22.2 一元二次方程的解法 二、重点讲解
1. 一元二次方程的概念：
（1）注意一元二次方程定义中的三个条件：有一个未知数，含未知数的最高次是2，整式方程，是判断一个方程是否是一元二次方程的依据。
（2）强调：要先把一元二次方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0），才能确定a、b、c的值。 一元一次方程与一元二次方程的区别和联系
2. 一元二次方程的解法：
熟练地解一元一次方程和一元二次方程是学好其他方程的关键，一元二次方程的解法是本章的重点。 一元二次方程的基本解法有四种： （1）直接开平方法：
它是以平方根的概念为基础，适合于形如?ax?b?2?c(a?0，c?0)类型的方程。 （2）配方法：
先把二次项系数化为1，再对x2?px进行配方，即在方程两边同时加上一次p???，就能配出一个含有未知数的一次式的完全平方式，项系数一半的平方??2?变形为：?x?m?2?n(n?0)的形式，再直接开平方解方程。 （3）公式法：
用配方法推导求根公式，由此产生了第三种解法公式法，它是解一元二次方程的主要方法，是解一元二次方程的通法。
2 1
关键是把方程整理成一元二次方程的一般形式，确认a、b、c的值（特别要注意正、负号），求出??b2?4ac的值（以便决定有无必要代入求根公式），?b?b2?4ac若b?4ac?0，则代入求根公式x?。2a2
（4）因式分解法：
适用于方程左边易于分解，而右边是零的方程。
我们在解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的解法，使解题过程简捷些。一般先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法。
对于二次项系数含有字母系数的方程，要注意分类讨论。 3. 一元二次方程根的判别式：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式△＝b2－4ac的意义，在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。 4. 一元二次方程的根与系数的关系：
已知x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0?a?0?的两个根，那么，x1?x2?bc?，x1?x2?，逆命题也成立。aa 一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用： （1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。 （2）不解方程，求某些代数式的值。
（3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。 （4）已知两数和与积，求这两个数。 （5）二次三项式的因式分解。 ……
运用根与系数的关系，可以大大缩减了复杂的运算量，避免进行无理数的计算。
???0注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件?。a?0?
5. 二次三项式的因式分解：
在实数范围内分解二次三项式ax2＋bx＋c（a≠0），可先用求根公式求出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根x1、x2，然后写成ax2＋bx＋c＝a（x－x1）（x－x2）。当a≠1时，分解时注意不要忘了a。
2例如：x?5??x?5??x?5?
6. 可化为一元二次方程的分式方程的解法：
解分式方程的常用方法是去分母，换元法转化为整式方程求解。 解分式方程时，一定要注意验根，验根后要写结论。
三、典型例题
例1. 判断下列方程是不是一元二次方程？
1?2?0；（3）x2?1；x（4）ax2?bx?c?0；（5）?a2?1?x2?ax?5?0；（1）x3?x2?5?0；（2）x?222??（6）x?2xy?y?1；（7）xx?1?x?2
分析：
（3）、（5）是一元二次方程。 （1）中x的最高次是3次，（2）是分式方程，（4）中二次项系数a不能确定是否为零，所以不一定是一元二
2
次方程，（6）有两个未知数x、y，（7）式去括号移项合并同类项后是一元一次方程。
例2. 解下列方程：
（1）3x?2x?9??4?2x?9?；（2）x2?2x?1?k?x2?1??0(k?1)；（3）x2?2x?2?0； （4）2x?3x?1?0 解：
（1）移项：3x?2x?9??4?2x?9??0 提取公因式：?2x?9??3x?4??0 ?2x?9?0，3x?4?0
2
94?x1??，x2?23
2 （2）整理方程，得：?1?k?x?2x?1?k?0 ??1?k?x??1?k???x?1??0
1?k?k?1，?x1?，x2?11?k
2 （3）配方，得：?x?1??3 x?1??3 ?x?1?3
也可以利用公式法解。
?3?32?4?2???1??3?17（4）x??2?24
?3?17?3?17?x1?，x2?44
例3. m为何值时，关于x的方程mx?3mx?m?5?0有两个相等的实数根？并
求出这时方程的根。
2?m?0?m?0?m?0???m?4??2??9m?4m?m?5??0?m?0，m?4 解：???0
注意：题目中的隐含条件是二次项的系数m≠0。
2已知方程x?3x?1?0的两实数根为?、?，不解方程求下列各式的值。 例4.
（1）?2??2；（2）?3????3；（3）???；??22??（4）??1??1；（5）???；（6）3??4??3? ??
解：
2??、?是方程x?3x?1?0的两个实数根
??????3，????1
22??3??1?0，则??1?3?；
3
??3??1?0，则??1?3?。
222222??（1）????????2????3?2???1??11 ??
3322（2）????????????????1??11??11
???2??211（3）?????11?????1
（4）???1????1???????????1???1????3??1?3
2??（5）??????????????4?????3?4??1???13 ????
22 （6）由根的定义代进去，构成关于根的方程再降次。 ?3??4??3? ?7?9?????
?7?9???3? ?34
22 ?3?1?3???4?1?3???3?
22已知x?px?q?0与x?qx?p?0有且仅有一个公共根，那么（） 例5.
B.p?q?1?0C.p?q?1?0D.p?q?1?0 A.p?q 解：应选C。
设x0是两个方程的公共根
2?1??x0?px0?q?0则有?2?2? ?x0?qx0?p?0
?1???2?，得：(p?q)x0?q?p?0 ?p?q??x0?1??0
?p?q，x0?1
当p?q时，两个方程都化为x2?px?q?0，那么这两个方程就有两个公共根，这与已知有且仅有一个公共根矛盾，?p?q。 当x0?1时，即方程的公共根为1，代入方程?1?得：p?q?1?0
2已知关于x的方程x??k?2?x?2k?0 例6.
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根。
（2）若等腰三角形的一边长为1，另两边长恰是这个方程的两个根，求三角形的周长。 解：
2??（1）证明：???k?2?4?2k ??
2 ?k?4k?4?8k
2 ?k?4k?4
2???k?2
??k?2??0
∴无论k取任何实数值，方程总有实数根 （2）∵等腰三角形的一边长为1 ∴要分类讨论
2①当腰为1时，则另一腰长1和底边是方程x??k?2?x?2k?0的两个根
则把x?1代入方程，得：k?1
2则方程化为x?3x?2?0
2 4
x1?1，x2?2 则底边为2
三边为1，1，2，不符合三角形两边之和大于第三边，舍去。
②当底边为1时，则两个腰为方程的两个根，即方程有两个相等的根
2??????k?2?8k??k?2?2?0 ??
2?k?2，则方程化为x?4x?4?0
x1?x2?2
三边为2，2，1，符合三角形三边关系定理。 ∴三角形的周长为5
2已知实数x、y、z满足x?6?y，z?xy?9，求证：x?y。 例7.
2由已知得：x?y?6，xy?z?9 解：
22可以构造以实数x，y为根的一元二次方程：a?6a?z?9?0
222??????6?4z?9??4z?0 ??
?z?0
2则方程为：a?6a?9?0
?a1?a2?3
即方程的两个根x、y都为3 ?x?y
例8. 把2x?8xy?5y分解因式。
解：?关于x的方程2x?8xy?5y?0的根是：
22224?6y2?22
4?6??4?6???2x2?8xy?5y2?2?x?y??x?y????? 22
x??
例9. 如果a、b、c均为奇数，试说明方程ax?bx?c?0?a?0?没有有理根（方程的根为有理数）。
28y???8y?2?4?2??5y2??b?b2?4ac分析：根据一元二次方程的求根公式可得ax?bx?c?0?a?0?的根应为x?，因而只需说
2a2明b?4ac不是一个完全平方数即可。
2解：因为a、b、c均为奇数，?b?4ac?奇数－偶数=奇数。假设
22。由于k?k?1?必为偶数，所以b?4ac?8m?1b2?4ac??2k?1??4k2?4k?1?4k?k?1??1（k为整数）
ma?2p?1，b?2q?1，c?2n?1，则（为整数）。又设
2b2?4ac??2q?1??4?2p?1??2n?1???4q2?4q?16pn?8p?8n?4??122??1。q2?q?1?q?q?1??1不可能是偶数，?b2?4ac不可能等于8m?1。??4q?q?1?16pn?8p?8n?????b2?4ac不可能是完全平方数。即a、b、c为奇数时，方程ax2?bx?c?0?a?0?不可能有有理根。
22例10.当k为何值时，关于x的方程x??2k?1?x??k?2k?3⑴有两个不相等的实数根；⑵有两个相等的实数根；⑶没有实数根。
分析：正确找a、b、c，计算出该方程的根的判别式b?4ac，根据课本阅读材料的有关知识，列出关于k的等式或不等式，求得k的值或范围。
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数学中考专题复习一元二次方程
