高中数学解题方法系列：平面向量最值问题的4种方法
平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。
一、利用函数思想方法求解
uuuruuuro例1、给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120.如图所示，点C在以uuuruuuruuuruuuvO为圆心的圆弧AB上变动.若OC?xOA?yOB,其中
x,y?R,则x?y的最大值是________.
图 1 1 分析：寻求刻画C点变化的变量，建立目标x?y与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。
解：设?AOC??，以点O为原点，则A(1,0)，B(?,OA为x轴建立直角坐标系，
13)，22C(cos?,sin?)。
uuuruuuruuurQOC?xOA?yOB,
13?(cos?,sin?)?x(1,0)?y(?,)即
22y?x??cos??2? ??3y?sin???2?2??x?y?cos??3sin??2sin(??)(0???)。
63因此，当???uuuruuuruuur例2、已知OA?(1,7),OB?(5,1),OP?(2,1),点Q为射线OP上的一个动点，当
时，x?y取最大值2。 3uuuruuuruuurQAgQB取最小值时，求OQ.
ruuuruuuuuur分析：因为点Q在射线OP上，向量OQ与OP同向，故可以得到关于OQ坐标的一个
uuuruuuruuurQB取最小值求OQ. 关系式，再根据QAguuuruuuruuuruuur解：设OQ?xOP?(2x,x),(x?0)，则QA?(1?2x,7?x),QB?(5?2x,1?x)
uuuruuur?QAgQB?(1?2x)(5?2x)?(7?x)(1?x)?5x?20x?12?5(x?2)?822
uuuruuuruuurQB取最小值-8，此时OQ?(4,2). ?当x?2时，QAg二、利用向量的数量积m?n?m?n求最值
例3、?ABC三边长为a、b、c，以A为圆心,r为半径作圆,PQ为直径，试判断P、Q
????uuuruuurCQ有最大值。 在什么位置时，BPg分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur解：QAB?BP?AP,AC?CQ?AQ??AP
uuuruuuruuuruuuruuuruuur?BPgCQ?(AP?AB)(?AP?AC)uuuruuuruuuruuuruuur2??r?ABgAC?AP(AB?AC)uuuruuuruuuruuur 2??r?ABgAC?APgCBuuuruuuruuuruuur?ABgAC?APCB?r2ruuuruuuruuuruuuCQ有最大值。 当且仅当AP与CB同向时，BPgrrrrrr三、利用向量模的性质a?b?a?b?a?b求解
rrrr例4：已知a?b?2,b?(cos?,sin?),求a的最大值与最小值。 rrrr分析：注意到a?(a?b)?b，考虑用向量模的性质求解。
图 2 1
r解：由条件知b?1。
rrrrrr设a?b?c，则a=b?c，
rrrrrrrQc?b?c?b?c?b， ?1?a?3。
rrrrrrbcbc所以当与同向时，a取最大值3；当与反向时，a取最小值1。
四、利用几何意义，数形结合求解
例5、如图，已知正六边形PP12P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是
uuuuruuuuruuuuruuuur（A）PP12?PP13（B）PP12?PP14 uuuuruuuuruuuuruuuur（C）PP12?PP15（D）PP12?PP16
图3
uuuuruuuruuuuruuuruuuur分析：平面向量数量积PPPP,2,3,4,5,6)的几何意义为PPPP12g1i(i?112g1i等于PP12的长度
uuuruuuuruuuuruuuuruuuruuuuruuur与PP1icosPP12,PP1i的乘积。显然，由图可知，PP12方向上的投影PP13在PP12方1i在PP向上的投影最大，故选（A）。
rrrr0
例6、a与b是两个夹角为120的单位向量，且p+q=1（p、q?R），则pa?qb的最小值
是
即
uuurruuurruuurrruuuruuuruuur分析: 如图3，设OA?a,OB?b,OC?pa?qb则OC?pOA?(1?p)OBuBCuur?pBAuuur
C在直线AB上，显然当OC?AB时，par?qbr最小，其最小值为12。 C
BA
图4 O
因此点
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