k?1k?11，∵x?(1,)时,f?(x)?0,x?(1?,??)时,f?(x)?0， kkk11∴f(x)在(1,1?)内是增函数，在[1?,??)上是减函数，
kk1∴f(x)的最大值是f(1?)??lnk，
k∵函数f(x)没有零点，∴?lnk?0，k?1，
因此，若函数f(x)没有零点，则实数k的取值范围k?(1,??)．………………（10分）
令f?(x)?0,得x?6．（本小题满分12分）
已知x?2是函数f(x)?(x2?ax?2a?3)ex的一个极值点（e?2.718???）．
（I）求实数a的值；
（II）求函数f(x)在x?[,3]的最大值和最小值． 解：（I）由f(x)?(x2?ax?2a?3)ex可得
32f?(x)?(2x?a)ex?(x2?ax?2a?3)ex?[x2?(2?a)x?a?3]ex……（4分） ∵x?2是函数f(x)的一个极值点，∴f?(2)?0
∴(a?5)e2?0，解得a??5 ……………（6分）
（II）由f?(x)?(x?2)(x?1)ex?0，得f(x)在(??,1)递增，在(2,??)递增，
由f?(x)?0，得f(x)在在(1,2)递减
∴f(2)?e2是f(x)在x?[,3]的最小值； ……………（8分）
323733731333322f()?e，f(3)?e ∵f(3)?f()?e?e?e2(4ee?7)?0,f(3)?f()
2442243∴f(x)在x?[,3]的最大值是f(3)?e3． ……………（12分）
27．（本小题满分14分）
2已知函数f(x)?x?4x?(2?a)lnx,(a?R,a?0) （I）当a=18时，求函数f(x)的单调区间；
（II）求函数f(x)在区间[e,e2]上的最小值． 解：（Ⅰ）f(x)?x2?4x?16lnx，
162(x?2)(x?4)? xx由f'(x)?0得(x?2)(x?4)?0，解得x?4或x??2 注意到x?0，所以函数f(x)的单调递增区间是（4，+∞） 由f'(x)?0得(x?2)(x?4)?0，解得-2＜x＜4， 注意到x?0，所以函数f(x)的单调递减区间是(0,4]. 综上所述，函数f(x)的单调增区间是（4，+∞），单调减区间是(0,4] f'(x)?2x?4?222分
6分
（Ⅱ）在x?[e,e]时，f(x)?x?4x?(2?a)lnx
2?a2x2?4x?2?a?所以f'(x)?2x?4?， xx2设g(x)?2x?4x?2?a 当a?0时，有△=16+4×2(2?a)?8a?0，
此时g(x)?0，所以f'(x)?0，f(x)在[e,e]上单调递增，
2
所以f(x)min?f(e)?e2?4e?2?a 当a?0时，△=16?4?2(2?a)?8a?0，
8分
2a2a或x?1?； 222a2a令f'(x)?0，即2x2?4x?2?a?0，解得1?. ?x?1?222a①若1?≥e2，即a≥2(e2?1)2时，
2f(x)在区间[e,e2]单调递减，所以f(x)min?f(e2)?e4?4e2?4?2a.
令f'(x)?0，即2x2?4x?2?a?0，解得x?1?2a?e2，即2(e?1)2?a?2(e2?1)2时间， 22a2a2f(x)在区间[e,1?]上单调递减，在区间[1?,e]上单调递增，
222aa2a所以f(x)min?f(1?)??2a?3?(2?a)ln(1?).
2222a③若1?≤e，即0?a≤2(e?1)2时，f(x)在区间[e,e2]单调递增，
2所以f(x)min?f(e)?e2?4e?2?a
②若e?1?综上所述，当a≥2(e2?1)2时，f(x)min?a4?4e2?4?2a； 当2(e?1)2?a?2(e2?1)2时，f(x)min?2 当a≤2(e?1)时，f(x)min8．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?x(x?6)?alnx在x?(2,??)上不具有单调性． ．．．
（I）求实数a的取值范围；
（II）若f?(x)是f(x)的导函数，设g(x)?f?(x)?6?不等式|g(x1)?g(x2)|?a2a?2a?3?(2?a)ln(1?)； 22 14分 ?e2?4e?2?a
2，试证明：对任意两个不相等正数x1、x2，x238|x1?x2|恒成立． 27a2x2?6x?a解：（I）f?(x)?2x?6??， ………………（2分）
xx∵f(x)在x?(2,??)上不具有单调性，∴在x?(2,??)上f?(x)有正也有负也有0， ．．．
即二次函数y?2x2?6x?a在x?(2,??)上有零点 ………………（4分） ∵y?2x2?6x?a是对称轴是x?3，开口向上的抛物线，∴y?2?22?6?2?a?0 2的实数a的取值范围(??,4) ………………（6分） （II）由（I）g(x)?2x?方法1：g(x)?f?(x)?a2?2， xx2a2?6?2x??2(x?0)， 2xxxa4442x3?4x?4∵a?4，∴g?(x)?2?2?3?2?2?3?，…………（8分）
xxxxx3448124(2x?3)?， ?h(x)??4?2334xxxxx33338h(x)在(0,)是减函数，在(,??)增函数，当x?时，h(x)取最小值
22227383838∴从而g?(x)?，∴(g(x)?x)??0，函数y?g(x)?x是增函数，
2727273838x1、x2是两个不相等正数，不妨设x1?x2，则g(x2)?x2?g(x1)?x1
2727g(x1)?g(x2)3838?∴g(x2)?g(x1)? (x2?x1)，∵x2?x1?0，∴
x1?x22727设h(x)?2?∴
g(x1)?g(x2)3838，即|g(x1)?g(x2)|??|x1?x2| ………………（12分）
x1?x22727方法2： M(x1,g(x1))、N(x2,g(x2))是曲线y?g(x)上任意两相异点，
g(x1)?g(x2)2(x1?x2)a，?x1?x2?2x1x2，a?4 ?2??2x1?x2x12x2x1x2?2?设t?2(x1?x2)a4a44 ………（8分） ??2???2??233x12x2x1x2xxxx(x1x2)(x1x2)12121x1x2,t?0，令kMN?u(t)?2?4t3?4t2，u?(t)?4t(3t?2)，
由u?(t)?0，得t?
22,由u?(t)?0得0?t?, 332233238g(x1)?g(x2)3838?u(t)在t?处取极小值，?u(t)?，∴所以 ?x1?x22732727?u(t)在(0,)上是减函数，在(,??)上是增函数，
即|g(x1)?g(x2)|?38|x1?x2| ………………（12分） 279．（本小题满分12分）
12x?ax?(a?1)lnx,a?1. 2 （I）讨论函数f(x)的单调性；
已知函数f(x)? （II）证明：若a?5,则对任意x1,x2?(0,??),x1?x2,有f(x1)?f(x2)??1.
x1?x2a?1x2?ax?a?1(x?1)(x?1?a)??（1）f(x)的定义域为(0,??)，f'(x)?x?a? xxx 2分
(x?1)2. 故f(x)在(0,??)单调增加． （i）若a?1?1,即a?2，则 f'(x)?x（ii）若a?1?1,而a?1,故1?a?2,则当x?(a?1,1)时,f'(x)?0.
当x?(0,a?1)及x?(1,??)时,f'(x)?0,故f(x)在(a?1,1)单调减少，在（0，a-1）， (1,??)单调增加．
（iii）若a?1?1,即a?2,同理可得f(x)在(1,a?1)单调减少,在(0,1),(a?1,??)
单调增加．
（II）考虑函数g(x)?f(x)?x ?12x?ax?(a?1)lnx?x. 2a?1a?1 由 g'(x)?x?(a?1)??2x??(a?1)?1?(a?1?1)2.
xx 由于a?a5,故g'(x)?0,即g(x)在(0,??)单调增加，从而当x1?x2?0时有 g(x1)?g(x2)?0,即f(x1)?f(x2)?x1?x2?0,
f(x1)?f(x2)f(x1)?f(x2)f(x2)?f(x1) 故??1，当0?x1?x2时，有???1
x1?x2x1?x2x2?x1已知函数f(x)?10．（本小题满分14分）
12x?alnx,g(x)?(a?1)x,a??1． 2（I）若函数f(x),g(x)在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；
?，设)F(x)?f(x)?g(x)，求证：当x1,x2?[1,a]时，不等式（II）若a?(1,e](e?2.71828|F(x1)?F(x2)|?1成立．
a解：（I）f?(x)?x?,g?(x)?a?1， ……………（2分）
x∵函数f(x),g(x)在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，
(a?1)(x2?a)?0恒成立， ……………（4分） ∴当x?[1,3]时，f?(x)?g?(x)?x即(a?1)(x2?a)?0恒成立， ?a??1?a??1∴?在x?[1,3]时恒成立，或?在x?[1,3]时恒成立， 22a??xa??x??∵?9?x??1，∴a??1或a??9 ………………（6分）
（II）F(x)?12a(x?a)(x?1) x?alnx,?(a?1)x，F?(x)?x??(a?1)?2xx∵F(x)定义域是(0,??)，a?(1,e]，即a?1
∴F(x)在(0,1)是增函数，在(1,a)实际减函数，在(a,??)是增函数
1∴当x?1时，F(x)取极大值M?F(1)??a?，
21当x?a时，F(x)取极小值m?F(a)?alna?a2?a， ………………（8分）
2∵x1,x2?[1,a]，∴|F(x1)?F(x2)|?|M?m|?M?m ………………（10分）
设G(a)?M?m?∴[G?(a)]??1?121a?alna?，则G?(a)?a?lna?1， 221，∵a?(1,e]，∴[G?(a)]??0 a∴G?(a)?a?lna?1在a?(1,e]是增函数，∴G?(a)?G?(1)?0
121∴G(a)?a?alna?在a?(1,e]也是增函数 ………………（12分）
22121(e?1)2?1， ∴G(a)?G(e)，即G(a)?e?e??222121(e?1)2(3?1)2?1??1?1，∴G(a)?M?m?1 而e?e??2222∴当x1,x2?[1,a]时，不等式|F(x1)?F(x2)|?1成立． ………………（14分） 11．（本小题满分12分）
设曲线C：f(x)?lnx?ex（e?2.71828???），f?(x)表示f(x)导函数．
（I）求函数f(x)的极值；
（II）对于曲线C上的不同两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，x1?x2，求证：存在唯一的x0?(x1,x2)，使直线AB的斜率等于f?(x0)． 解：（I）f?(x)?11?ex1?e??0，得x? xxe当x变化时，f?(x)与f(x)变化情况如下表：
x 1(0,) e＋ 单调递增 1 e0 极大值 1(,??) e－ 单调递减 f?(x) f(x) ∴当x?11时，f(x)取得极大值f()??2，没有极小值； …………（4分）
ee（II）（方法1）∵f?(x0)?kAB，∴
lnx2?lnx1?e(x2?x1)1x?x1x，∴2?e??ln2?0
x0x2?x1x0x1xx即x0ln2?(x2?x1)?0，设g(x)?xln2?(x2?x1)
x1x1xx/g(x1)?x1ln2?(x2?x1)，g(x1)x?ln2?1?0，g(x1)是x1的增函数，
1x1x1x∵x1?x2，∴g(x1)?g(x2)?x2ln2?(x2?x2)?0；
x2xx/g(x2)?x2ln2?(x2?x1)，g(x2)x?ln2?1?0，g(x2)是x2的增函数，
2x1x1x∵x1?x2，∴g(x2)?g(x1)?x1ln1?(x1?x1)?0，
x1x∴函数g(x)?xln2?(x2?x1)在(x1,x2)内有零点x0， …………（10分）
x1xxx又∵2?1,?ln2?0，函数g(x)?xln2?(x2?x1)在(x1,x2)是增函数，
x1x1x1x?x1x∴函数g(x)?2?ln2在(x1,x2)内有唯一零点x0，命题成立…………（12分）
xx1lnx2?lnx1?e(x2?x1)1?e?（方法2）∵f?(x0)?kAB，∴， x0x2?x1即x0lnx2?x0lnx1?x1?x2?0，x0?(x1,x2)，且x0唯一
设g(x)?xlnx2?xlnx1?x1?x2，则g(x1)?x1lnx2?x1lnx1?x1?x2， 再设h(x)?xlnx2?xlnx?x?x2，0?x?x2，∴h?(x)?lnx2?lnx?0
∴h(x)?xlnx2?xlnx?x?x2在0?x?x2是增函数 ∴g(x1)?h(x1)?h(x2)?0，同理g(x2)?0
∴方程xlnx2?xlnx1?x1?x2?0在x0?(x1,x2)有解 …………（10分）
∵一次函数在(x1,x2)g(x)?(lnx2?lnx1)x?x1?x2是增函数
∴方程xlnx2?xlnx1?x1?x2?0在x0?(x1,x2)有唯一解，命题成立………（12分） 注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线C不存在拐点，不给分． 12．（本小题满分14分）
定义F(x,y)?(1?x)y,x,y?(0,??)，
（I）令函数f(x)?F(3,log2(2x?x2?4))，写出函数f(x)的定义域；
（II）令函数g(x)?F(1,log2(x3?ax2?bx?1))的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在
x0(?4?x0??1)处有斜率为－8的切线，求实数a的取值范围；
（III）当x,y?N*且x?y时，求证F(x,y)?F(y,x)．
解：（I）log2(2x?x2?4)?0，即2x?x2?4?1 ……………………（2分）
得函数f(x)的定义域是(?1,3)， ……………………（4分） （II）g(x)?F(1,log2(x2?ax2?bx?1))?x3?ax2?bx?1,
设曲线C在x0(?4?x0??1)处有斜率为－8的切线，
又由题设log2(x3?ax2?bx?1)?0,g?(x)?3x2?2ax?b,
2?3x0?2ax0?b??8①?∴存在实数b使得??4?x0??1 有解， ……………………（6分）
②
?32?x0?ax0?bx0?1?1③ 22由①得b??8?3x0?2ax0,代入③得?2x0?ax0?8?0，
2??2x0?ax0?8?0有解， ……………………（8分） ?由????4?x0??188?[8,10)， 方法1：a?2(?x0)?，因为?4?x0??1，所以2(?x0)?(?x0)(?x0)当a?10时，存在实数b，使得曲线C在x0(?4?x0??1)处有斜率为－8的切线
………………（10分）
方法2：得2?(?4)?a?(?4)?8?0或2?(?1)?a?(?1)?8?0，
?a?10或a?10,?a?10. ………………（10分） ?2?(?4)2?a?(?4)?8?0?方法3：是?的补集，即a?10 ………………（10分）
2??2?(?1)?a?(?1)?8?022x?ln(1?x)ln(1?x)1?x（III）令h(x)? ,x?1,由h?(x)?2xxx11?x?ln(1?x),x?0, ?p?(x)?又令p(x)????0， 1?x(1?x)21?x(1?x)2?p(x)在[0,??)单调递减. ……………………（12）分
?当x?0时有p(x)?p(0)?0,?当x?1时有h?(x)?0,
?h(x)在[1,??)单调递减，
ln(1?x)ln(1?y)?1?x?y时,有?,?yln(1?x)?xln(1?y),?(1?x)y?(1?y)x，
xy?当x,y?N?且x?y时F(x,y)?F(y,x). ………………（14分）
导数综合练习题
