导数练习题（B）
1．（本题满分12分）
已知函数f(x)?ax3?bx2?(c?3a?2b)x?d的图象如图所示． （I）求c,d的值；
（II）若函数f(x)在x?2处的切线方程为3x?y?11?0，求函数f(x)的解析式；
（III）在（II）的条件下，函数y?f(x)与y?个不同的交点，求m的取值范围． 2．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?alnx?ax?3(a?R)．
（I）求函数f(x)的单调区间；
（II）函数f(x)的图象的在x?4处切线的斜率为
1f?(x)?5x?m的图象有三331m,若函数g(x)?x3?x2[f'(x)?]在区间（1，2323）上不是单调函数，求m的取值范围．
3．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c的图象经过坐标原点，且在x?1处取得极大值． （I）求实数a的取值范围；
(2a?3)2（II）若方程f(x)??恰好有两个不同的根，求f(x)的解析式；
9（III）对于（II）中的函数f(x)，对任意?、??R，求证：|f(2sin?)?f(2sin?)|?81． 4．（本小题满分12分）
已知常数a?0，e为自然对数的底数，函数f(x)?ex?x，g(x)?x2?alnx．
（I）写出f(x)的单调递增区间，并证明ea?a； （II）讨论函数y?g(x)在区间(1,ea)上零点的个数． 5．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?ln(x?1)?k(x?1)?1． （I）当k?1时，求函数f(x)的最大值；
（II）若函数f(x)没有零点，求实数k的取值范围； 6．（本小题满分12分）
已知x?2是函数f(x)?(x?ax?2a?3)e的一个极值点（e?2.718???）．
（I）求实数a的值；
（II）求函数f(x)在x?[,3]的最大值和最小值．
2x327．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?x2?4x?(2?a)lnx,(a?R,a?0) （I）当a=18时，求函数f(x)的单调区间；
（II）求函数f(x)在区间[e,e2]上的最小值． 8．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?x(x?6)?alnx在x?(2,??)上不具有单调性． ．．．
（I）求实数a的取值范围；
（II）若f?(x)是f(x)的导函数，设g(x)?f?(x)?6?不等式|g(x1)?g(x2)|?2，试证明：对任意两个不相等正数x1、x2，2x 9．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?38|x1?x2|恒成立． 2712x?ax?(a?1)lnx,a?1. 2 （I）讨论函数f(x)的单调性；
（II）证明：若a?5,则对任意x1,x2?(0,??),x1?x2,有 10．（本小题满分14分）
f(x1)?f(x2)??1.
x1?x212x?alnx,g(x)?(a?1)x,a??1． 2（I）若函数f(x),g(x)在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；
?，设)F(x)?f(x)?g(x)，求证：当x1,x2?[1,a]时，不等式（II）若a?(1,e](e?2.71828|F(x1)?F(x2)|?1成立．
已知函数f(x)? 11．（本小题满分12分）
设曲线C：f(x)?lnx?ex（e?2.71828???），f?(x)表示f(x)导函数．
（I）求函数f(x)的极值；
（II）对于曲线C上的不同两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，x1?x2，求证：存在唯一的x0?(x1,x2)，使直线AB的斜率等于f?(x0)． 12．（本小题满分14分）
定义F(x,y)?(1?x),x,y?(0,??)，
（I）令函数f(x)?F(3,log2(2x?x2?4))，写出函数f(x)的定义域；
（II）令函数g(x)?F(1,log2(x3?ax2?bx?1))的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在
yx0(?4?x0??1)处有斜率为－8的切线，求实数a的取值范围；
（III）当x,y?N*且x?y时，求证F(x,y)?F(y,x)．
导数练习题（B）答案
1．（本题满分12分）
已知函数f(x)?ax3?bx2?(c?3a?2b)x?d的图象如图所示． （I）求c,d的值；
（II）若函数f(x)在x?2处的切线方程为3x?y?11?0，求函数f(x)的解析式；
（III）在（II）的条件下，函数y?f(x)与y?个不同的交点，求m的取值范围．
1f?(x)?5x?m的图象有三3解：函数f(x)的导函数为 f'(x)?3ax2?2bx?c?3a?2b …………（2分） （I）由图可知 函数f(x)的图象过点（0，3），且f'(1)?0
?d?3?d?3得 ? …………（4分） ??3a?2b?c?3a?2b?0c?0??（II）依题意 f'(2)??3且f(2)?5
?12a?4b?3a?2b??3 ?8a?4b?6a?4b?3?5?解得 a?1,b??6 所以f(x)?x3?6x2?9x?3 …………（8分）
（III）f?(x)?3x2?12x?9．可转化为：x3?6x2?9x?3?x2?4x?3?5x?m有三个不等实根，
即：g?x??x3?7x2?8x?m与x轴有三个交点；
??g??x??3x2?14x?8??3x?2??x?4?，
x g??x? 2?????,? 3??+ 增 2 30 极大值 ?2?4? ?，?3?- 减 4 0 极小值 ?4，??? + 增 g?x? ?2?68g????m,g?4???16?m． …………（10分） 327???2?68?m?0且g?4???16?m?0时，有三个交点， 当且仅当g????3?2768故而，?16?m?为所求． …………（12分）
272．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?alnx?ax?3(a?R)． （I）求函数f(x)的单调区间；
（II）函数f(x)的图象的在x?4处切线的斜率为3）上不是单调函数，求m的取值范围． 解：（I）f'(x)?31m,若函数g(x)?x3?x2[f'(x)?]在区间（1，232（2分）
a(1?x)(x?0) x?0,1?,减区间为?1,??? 当a?0时,f(x)的单调增区间为?1,???,减区间为?0,1?; 当a?0时,f(x)的单调增区间为当a=1时，f(x)不是单调函数 （II）f'(4)??（5分）
3a3?得a??2,f(x)??2lnx?2x?3 421m?g(x)?x3?(?2)x2?2x,?g'(x)?x2?(m?4)x?2（6分）
32?g(x)在区间(1,3)上不是单调函数,且g'(0)??2
?g'(1)?0, ???g'(3)?0.?m??3,19?m?(?,?3) （8分）??（10分）193m?,?3?（12分）
3．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c的图象经过坐标原点，且在x?1处取得极大值． （I）求实数a的取值范围；
(2a?3)2（II）若方程f(x)??恰好有两个不同的根，求f(x)的解析式；
9（III）对于（II）中的函数f(x)，对任意?、??R，求证：|f(2sin?)?f(2sin?)|?81． 解：（I）f(0)?0?c?0,f?(x)?3x2?2ax?b,f?(1)?0?b??2a?3
?f?(x)?3x2?2ax?(2a?3)?(x?1)(3x?2a?3),
2a?3 由f?(x)?0?x?1或x??，因为当x?1时取得极大值，
32a?3 所以??1?a??3，所以a的取值范围是:(??,?3)；
3…………（4分）
（II）由下表： x f?(x) f(x) (??,1) + 递增 1 0 极大值?a?2 (1,?2a?3 )3?2a?3 3(?2a?3,??) 3- 递减 0 极小值 a?6(2a?3)2 27- 递增 a?6(2a?3)22(2a?3)?? 依题意得：，解得：a??9 279 所以函数f(x)的解析式是：f(x)?x3?9x2?15x
…………（10分）
（III）对任意的实数?,?都有?2?2sin??2,?2?2sin??2,
在区间[-2，2]有：f(?2)??8?36?30??74,f(1)?7,f(2)?8?36?30?2
f(x)的最大值是f(1)?7,f(x)的最小值是f(?2)??8?36?30??74
[?2,2]上的最大值与最小值的差等于81， 函数f(x)在区间 所以|f(2sin?)?f(2sin?)|?81．
…………（14分）
4．（本小题满分12分）
已知常数a?0，e为自然对数的底数，函数f(x)?ex?x，g(x)?x2?alnx．
（I）写出f(x)的单调递增区间，并证明ea?a； （II）讨论函数y?g(x)在区间(1,ea)上零点的个数．
解：（I）f?(x)?ex?1?0，得f(x)的单调递增区间是(0,??)， …………（2分）
∵a?0，∴f(a)?f(0)?1，∴ea?a?1?a，即ea?a． …………（4分）
（II）g?(x)?2x?a?x2(x?x g?(x) g(x) 当x?2a2a)(x?)22，由g?(x)?0，得x?2a，列表
2x2a2a2a(0,) (,??) 222- 0 + 单调递减 极小值 单调递增 2aaa2a)?(1?ln)，无极大值． 时，函数y?g(x)取极小值g(2222 …………（6分）
?e2a?ea2aa?a2a由（I）ea?a，∵? a，∴e?，∴e?22?a?2?g(1)?1?0，g(ea)?e2a?a2?(ea?a)(ea?a)?0 …………（8分） 2a?1，即0?a?2时，函数y?g(x)在区间(1,ea)不存在零点 22a?1，即a?2时 （ii）当2aa 若(1?ln)?0，即2?a?2e时，函数y?g(x)在区间(1,ea)不存在零点
22aa 若(1?ln)?0，即a?2e时，函数y?g(x)在区间(1,ea)存在一个零点x?e；
22aa 若(1?ln)?0，即a?2e时，函数y?g(x)在区间(1,ea)存在两个零点；
22a综上所述，y?g(x)在(1,e)上，我们有结论： 当0?a?2e时，函数f(x)无零点； 当a?2e 时，函数f(x)有一个零点； 当a?2e时，函数f(x)有两个零点．
…………（12分） 5．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?ln(x?1)?k(x?1)?1． （I）当k?1时，求函数f(x)的最大值；
（II）若函数f(x)没有零点，求实数k的取值范围；
（i）当
解：（I）当k?1时，f?(x)?2?x x?1f(x)定义域为（1，+?），令f?(x)?0,得x?2， ………………（2分）
∵当x?(1,2)时,f?(x)?0，当x?(2,??)时,f?(x)?0，
∴f(x)在(1,2)内是增函数，在(2,??)上是减函数
∴当x?2时，f(x)取最大值f(2)?0 ………………（4分） （II）①当k?0时，函数y?ln(x?1)图象与函数y?k(x?1)?1图象有公共点，
∴函数f(x)有零点，不合要求； ………………（8分）
②当k?0时，f?(x)?11?k?kx?k???x?1x?1k(x?1?k)k ………………（6分） x?1
导数综合练习题
