【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13．（2019?山东潍坊?3分）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与ln在第一象限内交于点Pn，则点Pn的坐标为 （n，） ．（n为正整数）
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【分析】连OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，由勾股定理得出A1P1＝＝
，……，得出P1的坐标为（ 1，），……，得出规律，即可得出结果．
【解答】解：连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示： 在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2， ∴A1P1＝同理：A2P2＝∴P1的坐标为（ 1，
＝＝
＝
，A3P3＝
，
＝
，……，
），……， ）
＝
，同理：A2P2＝
，A3P3
），P2的坐标为（ 2，），P3的坐标为（3，
来源#:*中国教%育出~&版网），P2的坐标为（ 2，），P3的坐标为（3，
），即（n，
…按照此规律可得点Pn的坐标是（n，故答案为：（n，
）．
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【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理；由题意得出规律是解题的关键．
14．(2019?湖南益阳?4分)观察下列等式：
来源:&~中#*教网①3－22＝(2－1)，
2
来源@:中#~国教&育出版网
2
②5－26＝(3－2)， 2
③7－212＝(4－3)，
…
请你根据以上规律，写出第6个等式 ． 【考点】规律探究---二次根式化简．
【分析】第n个等式左边的第1个数为2n+1，根号下的数为n(n+1)，利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为(
－
)(n≥1的整数)． ＝(
－
)．
2
2
【解答】解：写出第6个等式为13－2故答案为13－2
＝(
－
)．
2
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
15 (2019湖北仙桃)（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点C1，C2，C3，…都在直线y＝
x+
上，且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，OA1＝1，则点C6的坐标
） ．
是 （95，32
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【分析】根据菱形的边长求得A1、A2、A3…的坐标然后分别表示出C1、C2、C3…的坐标找出规律进而求得C6的坐标． 【解答】解：∵OA1＝1， ∴OC1＝1，
来@源:#*中教网~]∴∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°， ∴C1的纵坐标为：sin60°?OC1＝∴C1（，
），
来源:#%中^&教网，横坐标为cos60°?OC1＝，
∵四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形， ∴A1C2＝2，A2C3＝4，A3C4＝8，…， ∴C2的纵坐标为：sin60°?A1C2＝∴C2（，2，
），
，代入y＝
x+
求得横坐标为11，
，代入y＝
x+
求得横坐标为2，
C3的纵坐标为：sin60°?A2C3＝4∴C3（11，4∴C4（23，8C5（47，16∴C6（95，32
）， ）， ）， ）；
）．
故答案为（95，32
【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了菱形的性质，解直角三角形，根据已知点的变化规律求出菱形的边长，得出系列C点的坐标，找出规律是解题的关键．
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16. (2019湖北咸宁市3分)有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是4，则这三个数的和是 ﹣384 ．
12
【分析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是4，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和． 【解答】解：∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…， ∴这列数的第n个数可以表示为（﹣2）∵其中某三个相邻数的积是4， ∴设这三个相邻的数为（﹣2）则（﹣2）
n﹣1
nn﹣1.12
12
n﹣1
，
来源&:中国教育出版网~#]
（﹣2）、（﹣2），
12
nn+1
（﹣2）??（﹣2）＝4，
2
12
n+1
即（﹣2）＝（2）， ∴（﹣2）＝2， ∴3n＝24， 解得，n＝8，
∴这三个数的和是：（﹣2）+（﹣2）+（﹣2）＝（﹣2）×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣384， 故答案为：﹣384．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律． 三.解答题
1.（2019?四川省达州市?11分）箭头四角形 模型规律
如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B．
因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”． 模型应用
来源:zzst&^ep#@.co~m]3n3n24
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（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 2α ．
②如图3，∠ABE、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，则∠BFC＝ 85° ．
③如图4，BOi、COi分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i＝1，2，3，…，2017，2018）．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，则∠BO1000C＝ （m+n） 度．
（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD．O是四边形
ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．求证：四边形OBCD是菱形．
来#@源&:zzste^p.com~]来源:z#zstep%.&~com^]
[ww#w.zzs&tep.~*com%]【分析】（1）①由∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α，∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α可得答案； ②由∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F，∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A且∠EBF＝∠ABF，∠ECF＝∠ACF知∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F，从而得∠F＝③由∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝∠ACO＝得∠BOC＝
（∠BOC+
，代入计算可得；
（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C，
（∠ABO+∠ACO）+∠BAC知∠ABO+
（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C
（∠BO1000C﹣∠BAC），代入∠BOC＝
×
（∠BO1000C﹣∠BAC）+∠BO1000C，据此得出∠BO1000C＝∠BAC）＝
∠BOC+
∠BAC，代入可得答案；
（2）由∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA知∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD，结合∠BCD＝2∠BAD得∠BCD＝∠BOD，连接OC，根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可． 【解答】解：（1）①如图2，
2019年全国各地中考数学试题分类汇编(共43个专题) 专题36 规律探索
