5. 6. 7. 8. 9. 10.
三.解答题
1. （2019?四川自贡?10分）阅读下列材料：小明为了计算1+2+2+…+2用以下方法： 设S＝1+2+2+…+2则2S＝2+2+…+2
22
2017
2
2017
+2
2018
的值，采
+2
2018
①
2018
+2
2019
②
②﹣①得2S﹣S＝S＝2∴S＝1+2+2+…+2
2
2017
2019
﹣1 ＝2
2019
+2
2018
﹣1
请仿照小明的方法解决以下问题： （1）1+2+2+…+2＝ 2﹣1 ； （2）3+3+…+3＝
2
n
2
102
9
10
；
（3）求1+a+a+…+a的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．
【分析】（1）利用题中的方法设S＝1+2+2+…+2，两边乘以2得到2S＝2+2+…+2，然后把两式相减计算出S即可；
（2）利用题中的方法设S＝1+3+3+3+3+…+33+3+3+3+3+…+3
2
3
4
5
11
2
3
4
10
2
9
2
9
，两边乘以3得到3S＝
，然后把两式相减计算出S即可；
（3）利用（2）的方法计算．
【解答】解：（1）设S＝1+2+2+…+2① 则2S＝2+2+…+2② ②﹣①得2S﹣S＝S＝2﹣1 ∴S＝1+2+2+…+2＝2﹣1； 故答案为：2﹣1
（2）设S＝1+3+3+3+3+…+3①， 则3S＝3+3+3+3+3+…+3
2
3
4
5
11
2
3
4
10
102
9
1010
2
10
2
9
②，
②﹣①得2S＝3﹣1， 所以S＝
2
3
11
，
4
10
即1+3+3+3+3+…+3＝故答案为：
2
；
；
3
4
n
（3）设S＝1+a+a+a+a+..+a①， 则aS＝a+a+a+a+..+a+a②﹣①得：（a﹣1）S＝a所以S＝
2
3
42
3
4
n
n+1
②，
中国教育出&%^#版网n+1
﹣1，
，
n
即1+a+a+a+a+..+a＝，
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法．
规律探索
一.选择题
来源中国教育出版&*网^]
1.（2019?湖北省鄂州市?3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…An在x轴上，B1、B2、B3…Bn在直线y＝
x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1
都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…Sn．则Sn可表示为（ ）
A．2
2n
B．2
2n﹣1
C．2
2n﹣2
D．2
2n﹣3
【分析】直线y＝
x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，可得∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn
＝30°，∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°；根据等腰三角形的性质可知A1B1＝1，B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2BnBn+1＝2
n
n﹣1
；根据勾股定理可得B1B2＝，B2B3＝2
，…，
，再由面积公式即可求解；
【解答】解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥AnBn，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥BnAn+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1都是等边三角形， ∵直线y＝
x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，
∴∠OB1A1＝30°， ∴OA1＝A1B1， ∵A1（1，0）， ∴A1B1＝1，
同理∠OB2A2＝30°，…，∠OBnAn＝30°， ∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，BnAn＝2
n﹣1
，
易得∠OB1A2＝90°，…，∠OBnAn+1＝90°， ∴B1B2＝
，B2B3＝2＝
，…，BnBn+1＝2
＝2
n
，
，…，Sn＝×2
n﹣1
∴S1＝×1×故选：D．
[w&@%ww^.zzst~ep.com]，S2＝×2×2
×2
n
＝；
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形，并求出每边长是解题的关键．
来&#~源*:zzstep.c^om]
称为a的差倒数，如2的
2.（2019?四川省达州市?3分）a是不为1的有理数，我们把差倒数为
＝﹣1，﹣1的差倒数
＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是
a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（ ） A．5
B．﹣
C．
D．
【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2019除以3，根据余数的情况确定出与a2019相同的数即可得解． 【解答】解：∵a1＝5， a2＝a3＝
＝＝
＝﹣，
来&源:@~中教^#网＝，
a4＝
＝＝5，
…
∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环， ∵2019÷3＝673，
中%*&国@教育出版网∴a2019＝a3＝， 故选：D．
[ww*w.z#zs~tep.co^m@]【点评】本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键．
中国教育出版&*^网@#]
0
1
2
3
4
5
3.（2019湖南常德3分）观察下列等式：7＝1，7＝7，7＝49，7＝343，7＝2401，7＝16807，…，根据其中的规律可得7+7+7+…+7A．0
B．1
C．7
0
1
2
2019
0
1
2
2019
的结果的个位数字是（ ）
D．8
来源:%zzste^p.co~m*@]
【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出7+7+7+…+7
0
1
2
3
4
的结果的个位数字．
5
中国教育~&出版网*@]【解答】解：∵7＝1，7＝7，7＝49，7＝343，7＝2401，7＝16807，…，∴个位数4个数一循环， ∴（2019+1）÷4＝505， ∴1+7+9+3＝20， ∴7+7+7+…+7故选：A．
【点评】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．
0
1
2
2019
的结果的个位数字是：0．
357911
4.（2019云南4分）按一定规律排列的单项式：x，－x，x，－x，x，……第n个单项式是
n－12n－1n2n－1
A.（－1）xB.（－1）x
n－12n＋1n2n＋1
C.（－1）xD.（－1）x[w^ww.#zz%s~te@p.com]来源:#&zzstep^@.%com]【解析】观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，∴可以用(?1)n?1或(?1)n?1，（n为大于等于1的整数）来控制正负，指数为从第3开始的奇数，所以指数部分规律为2n?1，
故选C
5 （2019·广西贺州·3分）计算A．
B．
+
+C．
+
+…+
的结果是（ ） D．
【分析】把每个分数写成两个分数之差的一半，然后再进行简便运算． 【解答】解：原式＝＝＝
．
故选：B．
【点评】本题是一个规律计算题，主要考查了有理数的混合运算，关键是把分数乘法转化成分数减法来计算．
6．(2019?湖南常德?3分)观察下列等式：7＝1，7＝7，7＝49，7＝343，7＝2401，7＝16807，…，根据其中的规律可得7+7+7+…+7A．0
【考点】规律探究．
【分析】首先得出尾数变化规律，进而得出7+7+7+…+7
0
1
2
3
4
0
1
2
2019
0
1
2
2019
0
1
2
3
4
5
的结果的个位数字是( )
D．8
B．1 C．7
的结果的个位数字．
5
【解答】解：∵7＝1，7＝7，7＝49，7＝343，7＝2401，7＝16807，…， ∴个位数4个数一循环，
来源:@^中教&%网#]∴(2019+1)÷4＝505， ∴1+7+9+3＝20， ∴7+7+7+…+7
0
1
2
2019
的结果的个位数字是0．故选A．
【点评】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键．
7．(2019?云南?4分)按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第n个单项式是( ) A．(?1)n?1x2n?1 B．(?1)nx2n?1 C．(?1)n?1x2n?1 D．(?1)nx2n?1
【考点】规律探究．
【分析】观察各单项式，发现奇数项系数为正，偶数项系数为负，∴可以用(?1)n?1或
(?1)n?1(n为大于等于1的整数)来控制正负，指数为从第3开始的奇数，所以指数部分
规律为2n?1．
【解答】解：观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，∴可以用(?1)n?1或(?1)n?1(n为大于等于1的整数)来控制正负，指数为从第3开始的奇数，所以指数部分规律为2n?1，故选C．
2019年全国各地中考数学试题分类汇编(共43个专题) 专题36 规律探索
