第2个等式：＝+， 第3个等式：＝+第4个等式：＝+第5个等式：＝+……
按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式： （2）写出你猜想的第n个等式： 明．
【分析】（1）根据已知等式即可得； （2）根据已知等式得出规律可．
【解答】解：（1）第6个等式为：故答案为： （2）
证明：∵右边＝∴等式成立， 故答案为：
．
＝左边．
；
，
，再利用分式的混合运算法则验证即
；
（用含n的等式表示），并证
， ， ，
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出
的规律，并熟练加以运用．
规律探索
一.选择题
1. （2019?河南?3分）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转
结束时，点D的坐标为（ ）
A．（10，3）
B．（﹣3，10）
C．（10，﹣3）
D．（3，﹣10）
【分析】先求出AB＝6，再利用正方形的性质确定D（﹣3，10），由于70＝4×17+2，所以第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，此时旋转前后的点D关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出旋转后的点D的坐标． 【解答】解：∵A（﹣3，4），B（3，4）， ∴AB＝3+3＝6，
∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB＝6， ∴D（﹣3，10）， ∵70＝4×17+2，
∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°， ∴点D的坐标为（3，﹣10）． 故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
2. （2019?广西贺州?3分）计算A．
B．
+
+C．
+
+…+
的结果是（ ） D．
【分析】把每个分数写成两个分数之差的一半，然后再进行简便运算．
【解答】解：原式＝＝＝
．
故选：B．
【点评】本题是一个规律计算题，主要考查了有理数的混合运算，关键是把分数乘法转化成分数减法来计算．
3. （2019?甘肃省庆阳市?4分）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是 13a+21b ．
【分析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案． 【解答】解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b， 故答案为：13a+21b．
【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．
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2. （2019?贵州省安顺市?4分）如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是 ．
【解答】解：观察图表可知：第n行第一个数是n2， ∴第45行第一个数是2025，
∴第45行、第7列的数是2025﹣6＝2019， 故答案为2019 4. 5. 6. 7. 8.
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9. 10.
二.填空题
1. （2019?铜仁?4分）按一定规律排列的一列数依次为：﹣
，
，﹣
，
，…（a
≠0），按此规律排列下去，这列数中的第n个数是 ．（n为正整数） 【解答】解：第1个数为（﹣1）?
1
，
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第2个数为（﹣1）?
2
，
第3个数为（﹣1）?
3
，
第4个数为（﹣1）?…，
4
，
所以这列数中的第n个数是（﹣1）?
n
．
故答案为（﹣1）?
n
．
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2. （2019?海南?4分）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是 0 ，这2019个数的和是 2 ．
【分析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以数字的变化规律，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
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这列数为：0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，…， ∴前6个数的和是：0+1+1+0+（﹣1）+（﹣1）＝0， ∵2019÷6＝336…3，
∴这2019个数的和是：0×336+（0+1+1）＝2， 故答案为：0，2．
【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化
规律，每六个数重复出现．
来源#~^%:中教网*]3. （2019?四川自贡?4分）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝
．
【分析】给图中各点标上字母，连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°，同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α，由∠AEC＝60°结合∠AED＝∠AEC+∠CED可得出∠AED＝90°，设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝
a，利用勾股定理可得出AD的长，再结合余弦的定义即可求出cos（α+β）的值．
【解答】解：给图中各点标上字母，连接DE，如图所示． 在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC， ∴∠α＝30°．
同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α． 又∵∠AEC＝60°，
∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．
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a，
设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60°?a＝∴AD＝∴cos（α+β）＝故答案为：
＝＝．
a， ．
【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质以及规律型：图形的变化类，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键． 4.
2019年全国各地中考数学试题分类汇编(共43个专题) 专题36 规律探索
