龙岩市2019届高三教学质量检查 数学（理科）试题2019.2
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）
全卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上． 2．答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知(m?2i)(2?i)?4?3i,m?R,i为虚数单位，则m的值为 A．1 2．已知cos(B．?1
C．2
D．?2
3??)?，则sin2?? 4517A．? B．?
52517C． D．
5253．已知等差数列?an?的公差为2，若a1,a3,a4成等比数列，
则数列?an?的前8 项和为
A．?20 B．?18 C．?8 D．?10
4．如果执行右面的程序框图，输入正整数n,m，且满足n?m， 那么输出的p等于 A．Anm?1?
B．Anmmm?1C．Cn
D．Cn?2x?y?2?0?5．已知实数x，y满足不等式组?x?2y?1?0，则x?y的取值
?3x?y?2?0?范围为
A．??2,???
B．??1,???
C．???,2?
D．??2,2?
x2y2y2x26．已知双曲线C1:2?2?1?a?0,b?0?和双曲线C2:2?2?1?m?0,n?0?焦距相等，
abmn11离心率分别为e1、e2，若2?2?1，则下列结论正确的是
e1e2A．C1和C2 离心率相等
B．C1和C2 渐近线相同
C．C1和C2 实轴长相等
D．C1和C2 虚轴长相等
7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为
A．3? B．23? C．43? D．12?
8．如图，AB和CD是圆O两条互相垂直的直径，分别以
COA,OB,OC,OD为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点
取自阴影部分的概率是
211ABA．1? B．?π2π O21C． D． Dππ（第8题图）
????????9．已知函数f?x??cos??x?????0?在区间??，?上单调，则?的取值范围为
?3??36??12??1??112??12?0,,,1? B． C． D．??????15551515????????1111???10．设s?，T?|a?s|,a?N*，当T取最小值时a的值为
log2?log3?log4?log5?A．?0,A．2 C．4
B．3 D．5
11．如图，已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为4，P是AA1的中点，点M在侧面AA1B1B内，
若D1M?CP，则?BCM面积的最小值为 A．8
B．4
C．82 D．
85 5
12．已知数列?an?各项均为整数，共有7项，且满足ak?1?ak?1,k?1,2,L6，其中a1?1，
a7?a(a为常数且a?0)．若满足上述条件的不同数列个数共有15个，则a的值为
A．1
B．3
C．5
D．7
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
rrrrrr13．已知向量a，b的夹角为60°，a?2，a?3b?7，则b? ． 14．若(1?x)(a?x)的展开式中x项的系数为16，则实数a= ．
15．已知抛物线y?4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过点F作直线与抛物线交于A,B两点．若以QF为直径的圆过点B，则AF?BF的值为 ．
16．已知f(x)?|x|?4x，若f(x)的图像和y?ax的图像有四个不同的公共点，则实数a的取值
范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2ccosB?2a?b. （Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）设D为BC中点，若AD?3，求?ABC面积的取值范围． 18．（本小题满分12分） 如图，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，且?ABC?60，BM?平面ABCD，DN//BM，BM?2DN，点E是线段MN上的一点．O为线段BD的中点．
（Ⅰ）若OF⊥BE于F且OF?1，证明：AF?平面ECB；
032243uuur1uuuur（Ⅱ）若BM?4,NE?NM，求二面角E?BC?M的余弦值．
3M 19．（本小题满分12分）
2ENCOFBAD（第18题图）
x?y2?1，点A为长轴的右端点．B,C为椭圆E上关于原点对称的两2a1点．直线AB与直线AC的斜率kAB和kAC满足：kABgkAC??．
2（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
222（Ⅱ）若直线l:y?kx?t与圆x?y?相切，且与椭圆E相交于M,N两点，求证：以线
3段MN为直径的圆恒过原点．
已知椭圆E的方程为 20．（本小题满分12分）
某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有n（n?N）份血液样本，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（k?N且k?2）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k?1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样
??本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0?p?1)．
（Ⅰ）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．
（Ⅱ）现取其中k（k?N且k?2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为?1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为?2
（ⅰ）试运用概率统计的知识，若E?1?E?2，试求p关于k的函数关系式p?f(k)；
?1，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验3e的总次数期望值更少，求k的最大值．
参考数据：ln2?0.6931，ln3?1.0986，ln4?1.3863，ln5?1.6094，ln6?1.7918
（ⅱ）若p?1?
21．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?lnx?1?x1(a?R且a?0)，g(x)?(b?1)x?xex?(b?R) axx（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；
（Ⅱ）当a?1时,若关于x的不等式f(x)?g(x)??2恒成立,求实数b的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答. 注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一
个题目计分. 作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
?x??2?tcos??已知平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?（t为参数，0???），以
y?1?tsin?2?原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
?2?4?cos??2?sin??4?0．
（Ⅰ）求直线l的普通方程、曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A、B两点，且AB?2．求?的大小. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f?x??x?m?m?R?．
（Ⅰ）当m?2时，解不等式f?x????x?1；
（Ⅱ）若存在x?R，使f?x????x?1成立，求m的取值范围．
龙岩市2019年高中毕业班教学质量检查
数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的． 题号 选项 1 A 2 A 3 C 4 D 5 B 6 B 7 D 8 A 9 B 10 C 11 D 12 B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．1 14．?2或
4 15．4 16．(?4,0)U(0,4) 3三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由2ccosB?2a?b，得2sinCcosB?2sinA?sinB ……………………1分
即2sinCcosB?2sin?B?C??sinB，?2sinBcosC?sinB
QsinB?0， ?cosC?Q0?C??, ?C??1……………………5分
2
……………………6分
3
222（Ⅱ）在?ADC中，由余弦定理得：AD?AC?DC?2AC?DC?cos即AC?DC?AC?DC?9，
22?3
……7分
又QAC?DC?2AC?DC ?9?AC?DC?0, ……………………9分
22QSVADC?QSVABC18．（本小题满分12分）
931??0?SVADC?AC?DC?sin， …………………10分
423
93?0?SVABC??2SVADC……………………12分
2
0解：（Ⅰ）Q四边形ABCD是边长为2的菱形，且?ABC?60
? AC与BD交于点O且?ABC为等边三角形
1AC,?AF?CF ………………2分 2QBM?平面ABCD,?AC?BM又QAC?BD,?AC?平面BMND QOF?平面BMND,?AC?OF
222在RtVAOF中，AF?AO?OF?2
222在RtVBOF中，FB?BO?OF?2
?在?ABF中, AB2?4, AF2?FB2?4, AF2?FB2?AB2 ……………4分 ?AF?BE，又QCF,BE?平面CBE,CFIBE?F,
?AF?平面ECB ……………………5分
（Ⅱ）在平面BMND中，过O作直线l∥BM, 则l?面ABCD,如图，以l为z轴，AC 所在
直线为x轴，BD所在直线为y轴建立空间直角坐标系， ………………6分
?AC?2，BO?3 又QOF?1??B0,3,0,C??1,0,0?,M0,3,4,N0,?3,2
z??????MEF
福建省龙岩市2019届高三下学期教学质量检查数学理试题(全WORD版)
