线性相关和线性无关的结论

§3.2性质定理总结：

一、线性相关的判别：

1、?1,?2,??m线性相关?存在不全为零的数k1,k2,?,km，使得

k1?1?k2?2??km?m?0. 2、?1线性相关? ?1?0.

3、?1,?2线性相关? ?1与?2的对应分量成比例.

4、?1,?2,??m线性相关?其中至少有一个向量能用其余向量线性表示. 5、n个n维向量线性相关?它们构成的行列式等于零. 6、?1,?2,??m线性相关 ??1,?2,??m的秩小于m. 7、对调坐标不改变向量组的线性相关性. 8、部分相关?整体相关.

9、m个n维 (m>n) 向量线性相关.

二、线性无关的判别：

1、?1,?2,??m线性无关?如果k1?1?k2?2??km?m?0,则有

k1?k2???km?0. 2、整体无关?部分无关. 3、无关则加长无关

三、线性相关的性质：

?1,?2,??m线性无关，?1,?2,??m,?线性相关??可由?1,?2,??m线性表

示，且表示法唯一. 四、线性无关的性质：

1、若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，且向量组Ⅰ线性无关，则Ⅰ的元素个数≤Ⅱ的元素个数.

2、等价线性无关向量组的向量个数相同.

五、向量组的秩的性质：

1、矩阵A的秩等于A的行（列）向量组的秩.

A的不等于零的子式对应于A的行（列）向量组的线性无关组； A的行（列）向量组的线性无关组对应于A的不等于零的子式.

2、若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，则Ⅰ的秩≤Ⅱ的秩. 3、等价向量组的秩相同.

六、矩阵的初等行（列）变换不改变列（行）向量组的线性关系.